探尋數字背后意蘊發展整體結構思維

劉秀紅

[摘 要]結構化思維能讓人更有效地利用數學思維的方式去思考和解決生活中的實際問題?！坝脭祵Υ_定位置”是一種科學性知識，是一種人為性的規定，教師可引領學生探尋隱藏在規定背后的數學意義和價值，體會數學思想方法的曼妙，發展合情推理的能力，學會透過簡潔看結構，從而推動學生結構化思維的發展。

[關鍵詞]整體性；一一對應；數形結合；合情推理；結構性

[中圖分類號] G623.5 [文獻標識碼] A [文章編號] 1007-9068（2018）26-0020-03

結構化思維對幫助學生理解和掌握數學知識、完善學習認知結構，將課程目標細化、串聯、落實在具體的教學情境中，以及提高學生的分析、認知和表達等能力，形成核心思考能力有著重大影響。 “用數對確定位置”的教學目的是，讓學生會用數對表示某個具體位置，探尋這“冰冷”規定背后的意蘊；讓學生構建知識間的關聯，體會數學思想方法的曼妙，培養合情推理的能力，學會透過簡潔看結構。如果數字背后沒有聯系，知識就是零散的；如果數字背后沒有思想，規定就是冰冷的；如果數字背后沒有方法，學習只能是一種沉重的負擔；如果簡潔背后沒有結構， 簡潔只不過是一種形式。下面就以蘇教版教材四年級下冊“用數對確定位置”的教學為例，談談如何根據數字探尋規則背后的意蘊，培養學生數學結構化思維。

一、數字背后有聯系，打通聯系成整體

數學知識體系是按照知識之間的內部聯系組成的邏輯結構系統，教師在教學時應從整體結構入手，尋求內容間的內在聯系， 把握這種聯系所構成的知識體系， 并把這種體系遷移到學生的認知結構中，使知識系統化、條理化、結構化， 從而促進學生結構化思維的發展。

例如，教學四年級下冊“用數對確定位置”時，教師串通了小學各年級間有關確定位置之間的聯系，引領學生回顧一、二年級學習過的“確定位置”，依托已有經驗，提煉出數字背后的規則，明晰只要弄清前后左右和上下之間的先后順序，制定統一的規則，就能準確確定位置，激發學生猜想今天學習的“確定位置”又有怎樣的規則，提高學生探究規則的興趣，讓學生體會確定位置的學習方法的一致性和簡潔性。

【教學片段1】

生3：一年級學的只有1排，現在不只1排了，必須要說第幾排第幾個才能確定位置。

生4：剛才是在一條線上確定位置，現在是在一個平面上確定位置，要用2個數字。

師：是的，在一個平面上確定物體的位置，得用兩個數字來確定。第“2”和第“3”是按怎樣的規則數的？

生5：“2”表示排，“3”表示個。

生6：“排”是從前往后，或是從下往上數的；“個”是從左往右數的。

師：是的，無論在一條線上，還是一個平面上，確定物體位置時都得先確定規則，否則大家表述位置的結果都不相同。這節課我們繼續探尋確定位置中數字背后的規定。

這樣的教學，將教學起點前移，讓知識間的結構聯系不僅植根在教師心中，同時也建構在學生的知識體系中，讓學生建構新知有了基架。

【教學片段2】

師：通過今天的學習，你覺得確定一個物體的位置需要幾個數？這其中的規定是什么？

生1：我覺得確定一個物體的位置可能需要1個數，也可能需要2個數。當只有1行或只有1列時，就是在一條線上，只需要1個數；如果在一個面上就需要2個數，可以用數對表示，前一個數表示列，后一個數表示行。

生2：如果只有1行時，也可以看成在一個平面上用數對表示出來，只是這個數對的后一個數總是1。

師：真了不起，你打通了線和平面之間的關系。如果只有1行或1列時，簡單的確定位置的方法只要1個數?？磥泶_定一個位置，有時需要1個數，有時需要2個數，那么有時可能需要……數對的世界很奇妙，歡迎大家去探秘。

這課前、課中和課后的靈活“打通”，讓一節課往前走一步，向后拉一步，讓學生體會到數學學習的整體性，起到既見樹木又見林的功效。

二、數字背后有思想，領悟思想促發展

1.數點對應是本質

無論是一維空間還是二維空間， 數與點之間的一一對應性 （即一個數或數對對應著空間中的一個點，反之，空間中的每個點也只能用唯一的數或數對表示）是用數對確定位置的本質。例如，數對與座位也是一一對應關系，在用數對表示自己的座位時，如果某個人的位置是固定的， 則描述這個人位置的方法應該是一樣的。這個“一一對應性”讓學生體會到“數學規定”雖然是人為規定， 但有它的必要性和合理性， 大家都必須認可并遵守這個合理的數學規定， 否則一切就混亂了。

【教學片段3】

師：剛才大家用數對表示了自己的座位，也讓小伙伴們根據數對猜到了自己的朋友。想一想，我們班級中會有兩個人的座位是用同樣的數對表示的嗎？

生1：不會。如果是同樣的數對，那這樣一個座位上得坐兩個人了。

生2：每個數對只能對應著一個人，每個人也只能有一個座位，這樣才很有秩序，不會亂。

在教學由一個象限向其余三個方向延展時，教師引導學生通過想象“在二維方向標（也就是直角坐標系）中，每個點都可以用數對表示嗎？”歸納數對的“數學規定”， 激發學生繼續探究知識的欲望。

【教學片段4】

師：按這個思路繼續思考，這是學校的東北角（圖略），還有東南角，如果往下畫，還有西南角，能不能用數對表示這些點的位置？往左呢？你想說什么？

生1：這個好像我們二年級學過的方向標，分為東、南、西、北四個區域，那每個區域中的點的位置應該都可以用數對表示。

師：看來，對于方格圖，我們想畫多大就能畫多大。請大家閉眼想象一下，這個方格圖上任何一點的位置是不是都可以用數對來表示？反過來，任何一個數對是不是都可以在這個方格圖上找到一個點和它對應？這很像將來咱們要學習到的直角坐標系。

學生根據已有的經驗，猜想這個平面中的每個點應該都可以用一個數對表示，雖不明白具體用什么數對表示，但一一對應的思想已經初步形成。

2.數形結合巧滲透

數學是研究數量關系和空間形式的一門學科，而數形結合是一種重要的數學思想方法 ，其實“數對”就是中學所說的坐標，而“列”和“行”就是直角坐標系的雛形，它們架起了數與形的橋梁，為學生今后學習函數知識進行了有機的鋪墊。教學中，教師將人物圖抽象為點子圖，再將點子圖抽象為方格圖， 滲透“數形結合”思想，孕伏“坐標”知識，引導學生經歷知識的形成過程，發展學生的空間觀念。

【教學片段5】

師：如果我們把每個同學都看成一個點，閉上眼睛想象一下，這幅圖（圖略）變成什么樣了？

師（出示圖3）：睜開眼睛看看，這樣的一個平面圖和你想的一樣嗎？你還能在點子圖中找到數對（4，2）所表示的點嗎？

師：沒想到這簡單的數對背后居然還有這么多門道。

三、數字背后有推理，合情推理提能力

數學，無論是它自身的產生與發展， 還是對于它的認知與應用， 推理無不伴隨始終。因此，培養學生的數學推理能力是當今數學教育的一種核心價值取向。數學課程標準特別指出：應將推理能力的發展貫穿于學生整個數學學習過程中。而在數學學習過程中，猜想和推理是一對孿生兄弟，隨時都會同時出現在一個問題中?！坝脭祵Υ_定位置”這節課中，數對確定位置的方法是一種規則，如果采用“告訴”的方式教學，就會使學生的學習處于“接受”狀態。如果讓學生經歷用“符號”來表示第幾行和第幾列，并討論不同方法的優劣這一再創造的過程，對于熟悉了“先行后列”數法的學生來說是有一定困難的。因此，教師要引導學生從猜想規律開始，逐步根據提示進行推理，提高學生自主學習和研究的熱情，促進學生推理能力的提升。

【教學片段6】

生1：從遺傳學的角度看，我覺得是第4排第2個，因為很漂亮。

生2：聽說成績很棒，我覺得是從上往下數的第1行的第5個。

生3：只要是女孩都有可能，這樣的猜測好像“大海撈針”，得有點提示。

師：行。在數學上，她在這幅圖中的位置表示為（4，2），把數字4和2用逗號隔開，外面加括號表示一個整體，可以讀作數對4、2，也可以直接讀成4、2?，F在，你能找到她的位置嗎？

生4：還是不能確定究竟是哪一個，但范圍比剛才縮小了。

師：老師只有一個孩子，而且她的位置在數學上的確可以用數對（4，2）來表示，為什么你們找出了四個孩子呢？在小組里交流你的想法。

小組1：這里的4和2，哪一個是指豎排，哪一個是指橫排，沒說清楚。豎排時，究竟是從左往右數，還是從右往左數，也沒說清。橫排時，究竟是從上往下數，還是從下往上數，也沒說。

小組2：這數字背后的規則不清楚。

師：看來，僅僅知道數對還不夠，我們還得了解這個數對背后隱藏的一系列規則。

師：老師的孩子的好朋友，在圖中可用數對（2，1）表示。現在你能確定哪一個才是老師的孩子嗎？ 同桌兩人交流自己思考的過程。

（學生在交流中明晰列和行的確定以及數對（4，2）背后的規則）

學生在經歷了兩次猜想后，逐步縮小答案的范圍，教師再根據給定孩子的位置和數對，引導學生通過推理，自主探究，得出數字背后的規則。在這樣的過程中，學生的推理能力得到了進一步的培養，而這種“以假設為導向——如果她朋友的位置是（2，1），以事實為依據，以邏輯為紐帶”，學生根據給定數進行遷移、思考、推理的思考問題的方式，正是結構化思考問題的重要方式。

四、數字背后有簡潔，透過簡潔見結構

教學“用數對確定位置”后，很多教師都引導學生體會用數對表示位置的簡潔性，感受數學的簡潔美。但這里有比“簡潔”更重要的是這種表示方法的統一性和結構性：所有人都這樣表示，有了這種表示的統一性， 就不會產生分歧， 便于溝通和交流。如果這里的簡潔只是書寫上的簡單，而從學生思維的角度思考，特別是對初學者來說，這其實并不簡潔，反而是更復雜，因為學生已有的思維習慣是先行后列，而數對表示的數的第一個是列而不是行。

因此，筆者在引導學生總結用數對確定位置優越性時，讓學生不僅能體會到簡潔性，更懂得這種表示的統一性和結構性價值要遠遠大于簡潔性， 因為這種表示 （小學階段用在一維、二維、三維空間） 還可以進一步遷移到球面空間……

綜上，探尋隱藏在數字背后規定的數學意蘊和價值，不能局限于表面規定的接受，而要讓學生知道數字背后有聯系，明白數字背后有思想（重視思想促發展），經歷數字背后有推理（合情推理提能力），理解數字背后有簡潔（透過簡潔見結構），真正讓學生觸摸數學的本質，從而展現數學知識的魅力，讓學生在有意義的學習中發展結構化思維，并讓其成為一種思考的自覺。然而，結構化思維的培養不是一蹴而就的，和吹拉彈唱相似，也是需要每天練習的，既然如此，教師就應該根據教學內容，科學地引導學生每天練習，做學生結構化思維的引路人，讓他們在每天的練習中習得方法，學會有條理地分析和利用結構化思維解決問題。

（責編 金 鈴）