人工螢火蟲群優化算法求解二重數值積分

楊艷 劉生建 周永權

摘要：為提高傳統方法求解二重數值積分精度，提出利用人工螢火蟲群優化算法求解二重積分的新方法。該方法初始時將矩形積分區域兩個方向分割成若干不等距節點，通過螢火蟲算法優化這些節點，以優化后的節點為分割點求數值積分的值，以得到比較精確的積分結果。數值積分算例表明，該算法得到的積分值精度高、自適應性強，是一種有效的數值積分方法，在數值計算、工程實際應用中具有一定的參考和應用價值。

關鍵詞：人工螢火蟲群優化算法；二重積分；不等距節點；智能優化算法

DOI：10.11907/rjdk.173096

中圖分類號：TP312

文獻標識碼：A文章編號：1672-7800（2018）007-0116-04

Abstract：Inordertoimprovetheaccuracyproblemofdoublenumericalintegrationoftraditionalalgorithms，anewmethodforsolvingdoublenumericalintegrationbasedonartificialglowwormswarmoptimizationalgorithm（GSO）ispresented.GSOisusedtooptimizethenodepointsonthedirectionrangeinrectangularintegrationdomaintogetamorepreciseintegrationresult.Simulationexamplesofintegrationshowthealgorithmisavalidatedmethodwithhighprecisionandpowerfulself-adapting.Thealgorithmhasvalueinnumericalcalculationandengineeringpractice.

KeyWords：artificialglowwormswarmoptimizationalgorithm；doubleintegration；unequalnodepoints；intelligenceoptimizationalgorithm

0引言

二重數值積的求解問題是科學計算與工程技術領域常見問題之一。傳統的二重數值積分計算方法有梯形法、Newton-Cotes方法、Simpson方法、Gauss積分法等[1-4]。在求解二重積分過程中，傳統方法不適于原函數表達過于復雜的情況。求解二重積分的過程是分化成二次積分求解過程。傳統方法在計算二重積分時不考慮被積函數形狀，節點的劃分是等距的，或在整個計算過程中等距節點數不變，或在選擇好的等距節點基礎上繼續等距分割，這些按等距節點分割法求積公式難以求得精確度高的積分值，只有增加更多的節點才能得到較高精度。最理想的分割方法是根據被積函數曲線的凹凸形狀確定分割點位置，函數值變化大的區域分割點多，劃分的子區域就多；函數值變化小的地方分割點少，劃分的子區域就少。最后優化分割點進行積分求和，這樣求得的函數積分比傳統方法精度高。使用智能算法求解二重數值積分的新方法越來越多，如進化策略、粒子群算法及人工魚群算法等[5-7]，對新型群智能算法求解二重數值積分問題非常必要。

Krishnanand和Ghose[8]受自然界中螢火蟲發光發亮吸引伴侶或獵物行為啟發，于2005年提出人工螢火蟲群優化算法（GlowwormSwarmOptimization：GSO）。GSO是一種新的群智能仿生算法，它具有良好的求取全局極值和搜索多極值問題能力，已在多極值函數求解、高噪音影響問題、尋找危險信號源位置、跟蹤多個移動信號源等諸多方面得到了應用[8]。算法提出后諸多學者對螢火蟲算法進行了改進研究，并應用于組合優化、經濟調度等領域[9-12]。

本文基于人工螢火蟲算法，通過不等距節點分割求解二重積分，基本思想是：將人工螢火蟲看做矩形積分區間兩個方向上產生的節點，通過人工螢火蟲的移動原理對節點進行優化，以達到這些點基本上根據函數圖像的凹凸形狀排列的目的，最后以優化后的節點為最優節點進行積分求和，得到所求被積函數比較精確的積分值。

1人工螢火蟲群優化算法（GSO）原理

設N個螢火蟲組成一個群體在m維的目標搜索空間進行搜索，該群體根據熒光素值的相近程度分成nei個鄰域，每個鄰域內螢火蟲i以概率Pij在決策域范圍Rd（0

GSO算法主要通過熒光素值更新方程（1）、概率分布方程（2）、位置更新方程（3）和局部決策域范圍更新方程（4）對螢火蟲進行操作，模擬求解函數最優值。

2人工螢火蟲群優化算法求解二重數值積分

2.1個體表達方法確定

設x軸和y軸上的螢火蟲個體均由位置、螢光素值兩部分組成，X和Y表示位置，LX和LY表示熒光素值，x軸、y軸方向上的個體每部分分別包含S和D個分量，即

2.2算法步驟

（1）群體初始化。分別在x軸和y軸兩個方向上隨機生成一個初始群體，每個初始群體由N個人工螢火蟲個體組成，x軸方向上的每個個體（Xi，LXi）內包含S個xi、lxi分量，y軸方向上的每個個體（Yi，LYi）內包含D個yi、lyi分量。設定初始熒光素值l0，初始決策范圍Rd0，感知范圍Rs，鄰域個數nei，移動步長step，最大迭代次數iter_max。

（2）適應度值計算[6]：在兩個方向上將隨機產生的個體分別置于積分區間的左、右端點之間，各自按照升序排。x軸方向上產生的初始群體的第一個個體對應y軸方向上產生的初始群體的第一個個體，其它依此類推。x軸方向上有S+2個節點和S+1個小段，y軸方向上有D+2個節點和D+1個小段，這樣積分區域分割成（S+1）×（D+1）個小矩形；分別計算x軸、y軸上S+2和D+2個相鄰節點之間的距離di、dj（i=1，2，…，S+1，j=1，2，…，D+1）及小矩形面積areaij=di×dj，再計算出每個小矩形的4個頂點和小矩形中點對應的函數值，并找出這5個函數值中的最小值Minij和最大值Maxij，則螢火蟲個體的適應度為：

3數值實驗

為驗證本算法的有效性和正確性，選取文獻[1]和文獻[6]給出的實例，與傳統的復化梯形法和復化辛普生法比較。本實驗用MATLAD7.6編寫仿真程序，其中算法的參數設計如下：l0=5，step=0.03，Rd0=1，Rs=1，nei=5，ρ=0.4，β=0.08，γ=0.6，iter_max=50，進行30次獨立實驗。

已知積分的準確值為0.28768210，本文算法中N=50，采用兩種方法得到的積分結果及誤差如表1所示。從表1可以看出，在GSO算法中分割點越多，平均耗時越長，時間復雜度越大。圖1為本文算法在計算該函數積分x向和y向剖分段數為64時，獨立運行次數與每次得到的最優積分值之間的曲線圖，從圖中可看出獨立運行30次，幾乎每次得到的最優積分值都接近積分準確值，驗證了算法的有效性和可行性。

程序中a=1，b=2，c=1，d=2，N=50，已知積分的準確值為0.2500000，采用兩種方法得到的積分結果及誤差如表2所示。從表2可以看出，本文算法能夠求得積分的近似值且誤差較小，但不及參考文獻算法所求的積分近似值好；同時，在GSO算法中分割點越多，平均耗時越多，時間復雜度就越大。圖2為本文算法在計算該函數積分x向和y向剖分段數為64時，獨立運行次數與每次得到的最優積分值之間的曲線圖，從圖中可以看出獨立運行30次，幾乎每次得到的最優積分值都接近積分精確值，驗證了算法的有效性和可行性。

已知積分的準確值為0.4720828，被積函數無原函數。本文算法中N=50，采用兩種方法得到的積分結果及誤差如表3所示。從表3可以看出，本文算法能夠求得積分的近似值，但誤差較大，不及參考文獻算法所求的積分近似值好；同時，在GSO算法中分割點越多，平均耗時越多，時間復雜度就越大。圖3為GSO算法在計算該函數積分x向和y向分割點為32時，獨立運行次數與每次得到的最優積分值之間的曲線，從圖中可看出獨立運行30次，幾乎每次得到的最優積分值都接近積分精確值，驗證了算法的有效性和可行性。

已知積分的準確值為5.1001700，被積函數在（0，0）點無定義，本文算法中N=100。采用兩種方法得到的積分結果及誤差如表4所示。從表4可以看出，當x向和y向分割點均為64時，本文算法求得的積分值精度較高，誤差較小；同時，在GSO算法中分割點越多，平均耗時越多，時間復雜度就越大。圖4為本文算法在計算該函數積分x向和y向剖分段數為64時，獨立運行次數與每次得到的最優積分值之間的曲線圖，從圖中可看出獨立運行30次，幾乎每次得到的最優積分值都接近積分精確值，驗證了算法的有效性和可行性。

已知積分的準確值為0.42955452600，復化辛普生方法中x向和y向均分成100份，所求得積分值為0.4295524387，相對誤差為0.00000486。本文算法中N=100，x向和y向分割點均為100，所得積分值為0.429557437360488，相對誤差為2.911360487800607e-006，可見，本文算法求得的積分值精度較高，誤差較小。獨立運行30次的平均耗時為7.945130930000005ms。圖5為本文算法計算積分時，獨立運行次數與每次得到的最優積分值之間的曲線圖，從圖中可看出獨立運行30次，幾乎每次得到的最優積分值都接近積分精確值，驗證了算法的有效性和可行性。

4結語

本文提出了一種基于人工螢火蟲群算法求解二重積分的新方法。該方法初始時在矩形積分區域兩個方向的區間內各自隨機選取一定的不等距節點，通過螢火蟲群算法優化這些節點，以優化后的節點為分割點求數值積分值，最后得到比較精確的積分結果。通過5個數值實驗表明，基于螢火蟲群優化算法求二重積分的方法可行、有效，該方法具有計算精度較高、自適應性強等特點，在數值計算和工程實際中有一定的應用價值。

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（責任編輯：杜能鋼）