基于融合概率盒的指標靈敏度分析方法

任東磊 王清心 丁家滿

摘要：傳統靈敏度分析方法大多忽略了指標不確定性問題，難以反映指標不確定性對評估結果的影響程度，導致關鍵指標辨識困難。為此，在不精確概率的數學性質基礎上，提出基于融合概率盒的不確定性指標靈敏度分析方法。首先針對指標數據的分布特點采用不同方法建立指標概率盒模型，然后進行指標概率盒兩兩交叉融合運算，獲得每次融合后的概率盒模型，最后通過計算融合后概率盒模型積分面積變化分析指標的靈敏度。與傳統方法比較，結果表明該方法不僅能有效辨識出關鍵指標，而且給出的靈敏度排序結果與傳統方法相比具有更高的區分度。

關鍵詞：概率盒；不確定性指標；融合；靈敏度分析

DOI：10.11907/rjdk.173051

中圖分類號：TP301

文獻標識碼：A文章編號：1672-7800（2018）007-0070-05

Abstract：Thetraditionalsensitivityanalysismethodmostlyignoretheuncertaintyoftheindex，anditisdifficulttoreflecttheinfluenceofuncertaintyonassessmentresults.Onthebasisofthemathematicalpropertieswithimpreciseprobability，thispaperputsforwardasensitivityanalysismethodbasedonfusedprobabilitybox.Firstly，accordingtothedistributioncharacteristicsofindexdatatheprobabilityboxmodelisestablishedbycorrespondingmodelingmethods，andtheneachtwoprobabilityboxesarefused，thuswecangetfusedprobabilityboxmodel；finally，thesensitivityoftheindexisanalyzedbytheratioofareaintegralbetweenthefusedprobabilityboxes.Theanalysisresultshowsthattheproposedmethodcannotonlyhavemoreeffectiveidentificationofthekeyindicatorsthantraditionalmethods，butalsocanobtainthesensitivityresultswithhigherdifferentiation.

KeyWords：probabilitybox；uncertainindex；fusion；sensitivityanalysis

0引言

為防止規劃決策過程出現偏差，決策者不僅要對關鍵指標進行識別，并且要在眾多指標中進行篩選，過濾出對方案影響小的指標以及分析各指標影響程度。因此，研究規劃方案中指標的靈敏度尤為重要[1]。

靈敏度分析[2]指在一個數學模型中根據輸入變量的變化觀測輸出變量的變化，確定靈敏度大小的方法。在指標權重賦值、設計可靠性和方案決策中，不確定指標數據的正確表達是靈敏度分析的關鍵環節[3]。靈敏度分析有許多經典方法，如非參數法[4]、方差分析法[5]以及矩獨立分析法[6]。其中對指標不確定性描述和表達，尤其對隨機不確定性表達方面，均值、方差較為常用，相當于用不確定指標數據的一個特征值描述不確定信息。在指標確定的情況下，可采用直接求導法對靈敏度進行計算；在指標不確定且變量分布有規律的情況下，常用方差分析法等進行靈敏度分析。

事實上許多不確定變量沒有準確的規律可循，即便大體符合某種分布也存在漂移現象，比如某個指標基本符合正態分布，但其均值和方差不是固定值，而是區間。在決策分析中隨機不確定性與認知不確定性往往同時存在。因此，如何正確表達指標數據的不確定性成為靈敏度分析的重中之重。

在證據理論基礎上發展而來的概率盒理論[7]，能較好地統一表達隨機不確定性和認知不確定性[8]，從其數學定義來看，概率盒用于表達不確定性變量漂移現象更為擅長，得到了廣泛應用[9-10]。例如文獻[11]使用概率盒解決多項式系統的可靠性問題，文獻[12]將其用于處理工程分析中的不精確概率問題。本文提出基于融合概率盒的靈敏度分析方法，通過概率盒表達這些不確定指標。首先對指標進行概率盒建模，然后進行指標概率盒兩兩交叉融合運算，得到新的融合概率盒模型，最后根據融合概率盒兩兩之間的面積積分比值分析指標的靈敏度。

1概率盒及相關理論

1.1概率盒

概率盒由美國桑迪亞國家實驗室（SandiaNationalLaboratory）提出，在累積概率分布函數（CumulativeProbabilityDistributionFunction，簡稱CDF）中引入區間類型界限，這種界限稱之為“概率盒”，它既可表達隨機不確定性，也可表達認知不確定性。

定義一個隨機變量X屬于集合（Ω，A），同樣A為Ω的子集。因為累積分布函數是非遞減函數，并且累積分布函數F（x）值域為R[0，1]，累積分布函數F（x）界定在（F-（x），F-（x））之間，這種表示方法稱之為概率盒或概率包絡（P-box）。F-（x）稱為F（x）的下邊界，F-（x）稱為F（x）的上邊界。概率盒如圖1所示。

概率盒可這樣理解：不管或者不必知道概率符合的分布是什么，規定一個上邊界和下邊界，要求累積分布處于這個范圍，這個范圍即稱為概率盒。這種分析通過對不確定性分布函數周圍進行邊界劃分，保證產生的界限完全處于累積分布函數之間。

1.2D-S結構體

同理，從圖2可知概率盒可轉化為多個D-S結構體，這個過程稱之為概率盒的離散化。

2基于融合概率盒的指標靈敏度分析方法

2.1概率盒建模算法

將所知的經驗信息和理論信息表現在概率盒并對概率盒建模的方法很多，專家估計法可根據已經掌握的分布或專家的經驗得到某一不確定變量的概率分布，進而得到概率盒的上下界，是一種最常用的方法，也是最容易得到輸入模型的方法。所以，當不確定信息足夠時，該概率盒會退化為累積概率分布函數。多數情況下由于所知局限，一個分布的參數是不確定的，只能由經驗估算出一個大致區間，此時可直接計算出概率盒的上下界。例如，對于一個不確定變量A服從正太分布，其均值μ∈[0，1]，方差σ∈[2，3]，就可知道概率盒的左上邊界是以0為均值，2為方差的累積概率分布函數。同理，概率盒的左下邊界是均值為0方差為3的累積概率分布函數，右下邊界是均值為1方差為2的累積概率分布函數，右上邊界是均值為1方差為3的累積概率分布函數，如圖3所示。

概率盒建模方法還有參數建模、魯棒貝葉斯、測量觀測法等等。

概率盒建模算法步驟：

（1）獲取指標的歷史數據，采集數據特征進行不確定數據概率盒建模分類。①如果數據符合某種分布，可直接選取其密度函數或概率分布函數作為模型；②如果數據符合某種分布，但其分布參數在某個區間波動，則選擇參數建模法。首先將數據分為n組，根據每組的最大值、最小值以及隨機不確定性的概率均值累計分布性質，分別以最大值、最小值作為積分的上下界，累積出每組的概率上界和概率下界，最后選取所有組中概率下界最小的概率作為概率盒下界，選取所有組中概率上界最大的作為概率盒上界；③如果數據不符合以上情況，可直接使用概率盒的定義建模。

（2）進行分布累積，得到概率盒上下界。

（3）根據累積分布后的函數畫出概率盒示意圖。

2.2概率盒融合

2.2.1交集融合

交集融合是利用最小區域作為融合結果，該區域的所有估計是一致且高度可信的。

對于任意x都有F-*（x）≤F-*（x）。使用交集對概率盒進行融合，實質就是取各概率盒的下界最大值和上界最小值。使用交集融合的條件是所有信息源必須包含真實值，但是交集融合的容錯性差，一旦信息源出現奇異源將可能得到空集。

交集融合的一般步驟是：先將所有信息源構建為概率盒，然后等信度離散成相同的份數，利用上述交集公式對每一份等信度概率盒進行融合，最后累積即可得到融合結果。

2.2.2包絡融合

包絡融合實質就是并集融合，取概率盒的下界最小值和上界最大值，和交集融合相反。包絡法適用于信息源可靠性未知的情況。

使用包絡法融合概率分布、概率盒或D-S結構體得到的結果仍是概率盒，包絡法是最開放的融合方法，但是其融合結果的精確度也最差，一旦奇異源出現，決策的精度就會大打折扣。

2.2.3D-S規則融合

證據理論以焦元為基本計算單位，所以必須將概率盒離散為焦元的形式。基于D-S合成規則的概率盒融合算法主要運用證據理論中的D-S合成規則計算離散后的證據結構體，最終累積后得到融合結果，利用的便是概率盒與D-S結構體之間的關系。其步驟為：先將概率盒正則離散成D-S結構體，將每一份等信度的D-S結構體運用證據合成規則進行融合，然后依據得到的結構體累積即可得到融合的概率盒。

3基于融合概率盒的指標靈敏度分析算法

概率盒的概率邊界不是傳統的近似值或一個估計區間，所以數據的隨機不確定性和認知不確定性描述會更加完整。可以全面考慮不確定數據的性質，例如分布參數的不確定性、分布形狀、間隔依賴。因此，概率盒可根據不確定數據的簡單特征構建出概率界限帶入相關分析中，這比傳統的計算方法全面。下例簡單展示了本文方法思想。

首先搜集整理歷史數據，對其建模如圖4、圖5、圖6所示。

然后對3個指標分別融合，得到融合概率盒模型如圖7、圖8、圖9、圖10所示。

最后，將指標兩兩所得的概率盒面積和所有指標融合后的概率盒面積按式（14）進行比較分析：

式（14）中，sx代表指標X的靈敏程度，sxy代表指標XY融合得到的概率盒面積，sxyz代表3個指標融合得到的概率盒面積，以此類推。

分析上式，可以看出X的靈敏程度約為59%，Z的靈敏程度約為22%，Y的靈敏程度約為18%。得X、Y、Z的靈敏度序列為X>Z>Y。

依據靈敏度排序結果區分度定義：

進一步計算指標X的靈敏度與Y的區分度為（0.5852-0.1813）/0.18×100%=40.39%，Y的靈敏度與Z的區分度為21.4%

基于融合概率盒的指標靈敏度分析算法步驟如下：

（1）對數據進行簡單統計，分析歷史數據是否有某種規律。

（2）根據步驟（1）的結果選擇相應的概率盒建模方法對指標建模：①如果數據符合某種分布，可直接選取其密度函數或概率分布函數作為模型；②如果數據符合某種分布，但其分布參數在某個區間波動，選擇參數建模法；③如果數據不符合以上情況，可直接使用概率盒定義建模。

（3）重復步驟（1）、步驟（2）對所有指標進行概率盒建模。

（4）根據融合算法兩兩融合這些指標概率盒得到新的融合概率盒。

（5）求取所有融合概率盒的面積積分。

（6）分析兩者之間的面積積分比值，獲得指標靈敏度序列或指標對應的靈敏程度。

（7）依據靈敏度排序結果區分度定義公式，進一步計算各指標靈敏程度的排序區分度。

4實驗與分析

為更清楚地理解本文方法及應用，選用電網規劃方案中某支路節點傳輸功率靈敏度作為示例進行分析，公式如下：

xij為支路l的電抗，θi為節點i的電壓相角，θj為節點j的電壓相角。分別對3個技術指標做靈敏度分析，指標數據來自IEEE-RTS支路參數部分，技術參數如表1所示。由于材料和溫度等周圍環境影響，各技術指標不在參數規定的范圍內變化，還有許多認知不確定性，采用概率盒分析方法對3個指標建模。

利用采集的數據，對指標進行概率盒建模如圖11、圖12所示。

對該指標使用基于融合概率盒的靈敏度分析方法進行分析，并與傳統分析方法對比，得到各指標靈敏程度結果，如表2所示。

由表2可以看出，3種方法計算出的靈敏度排序基本相同：θj>θi>xij，均辨識出指標θj最敏感，屬于關鍵指標。

根據表2數據，求導法認為指標θi與xij一樣敏感，難以區別，而方差法和本文方法可以辨識出指標θi明顯比xij敏感，更為關鍵。其中方差法和本文方法得出θi與xij的區分度分別為45%、55.5%，θj與θi的區分度分別為40.6%、50%。在相同數據集中本文方法計算出的靈敏度排序結果區分度較高，究其原因是本文方法在對指標建模時，將所有不確定性都包含在概率盒中，在之后的每個計算步驟中，差異不斷放大，最終的排序結果差異也愈發明顯，區分度更高。由此可見，本文方法在采用傳統評價方法難以給出靈敏度排序的情況下更具實用性。

5結語

利用概率盒描述不確定指標數據，充分描述了不確定數據的性質，通過對不確定指標數據進行概率盒建模，以及基于融合概率盒的分析方法進行靈敏度分析，可更精確地得出影響模型變化的指標，發現指標對模型的影響程度，提高了靈敏度分析精度指標，有助于決策者分析各指標的權重分布。本文方法側重點是對不確定指標的靈敏度分析，可以應用于結構可靠性靈敏度分析，對某種結構風險進行評估，還可對指標相關性進行研究。

參考文獻：

[1]陳光，林振智，周浩，等.電網規劃方案決策的概率靈敏度分析[J].電力系統自動化，2013，37（9）：41-46.

[2]DANGC，IONESCUBUJORM，NAVONAIM.SensitivityandUncertaintyAnalysis，VolumeII[EB/OL].http：//www.doc88.com/p-6601231009924.html.

[3]FERSONS，TUCKERWT.Sensitivityanalysisusingprobabilitybounding[J].ReliabilityEngineering&SystemSafety;，2006，91（10-11）：1435-1442.

[4]羅毅，劉峰，劉向杰.基于主成分-遺傳神經網絡的短期風電功率預測[J].電力系統保護與控制，2012，40（23）：47-53.

[5]師洪濤，楊靜玲，丁茂生，等.基于小波-BP神經網絡的短期風電功率預測方法[J].電力系統自動化，2011，35（16）：44-48.

[6]范高峰，王偉勝，劉純.基于人工神經網絡的風電功率預測[J].中國機電工程學報，2008，28（34）：118-123.

[7]FERSONS，KREINOVICHV，GINZBURGL，etal.ConstructingprobabilityboxesandDempster-Shaferstructures[R].SAND2003-4015，Albuquerque，NM：SandiaNationalLaboratories，2003.

[8]楊旭鋒.含認知不確定性參數的高效高精度可靠性分析方法研究[D].西安：西北工業大學，2016.

[9]黃心，王清心，丁家滿.基于概率盒理論的電網規劃方案中指標不確定性建模[J].信息與控制，2016，45（3）：272-277.

[10]TUCKERWT，FERSONS.Sensitivityinriskanalyseswithuncertainnumbers.[J].FersonSKreinovich，2006（2）：156-159.

[11]CRESPOLG，KENNYSP，GIESYDP.Reliabilityanalysisofpolynomialsystemssubjecttop-boxuncertainties[J].MechanicalSystems&SignalProcessing;，2013，37（1-2）：121-136.

[12]BEERM，FERSONS，KREINOVICHV.Impreciseprobabilitiesinengineeringanalyses[J].MechanicalSystems&SignalProcessing;，2013，37（1-2）：4-29.

（責任編輯：杜能鋼）