SIS病毒傳播模型在單向網(wǎng)絡(luò)中的動(dòng)力學(xué)研究

李紀(jì)康 唐 亮,2 焦 鵬 靖 可

1(沈陽(yáng)航空航天大學(xué)機(jī)電工程學(xué)院 遼寧 沈陽(yáng) 110000)2(大連海事大學(xué)交通運(yùn)輸管理學(xué)院 遼寧 大連 116000)

0 引 言

目前，國(guó)內(nèi)外學(xué)者已逐漸開(kāi)始關(guān)注特定傳播模型下的動(dòng)力學(xué)特性，并且致力于豐富該領(lǐng)域的理論研究中。文獻(xiàn)[15]研究了傳播媒介對(duì)病毒傳播過(guò)程中的模型，提出了一種新型的SIS傳播模型。文獻(xiàn)[16]通過(guò)平均場(chǎng)方法研究在社會(huì)網(wǎng)絡(luò)上的病毒傳播動(dòng)力學(xué)行為,推導(dǎo)出傳播閾值公式，發(fā)現(xiàn)傳播閾值與模塊化系數(shù)呈負(fù)相關(guān)關(guān)系。文獻(xiàn)[17]將SIS病毒傳播模型引入到供應(yīng)鏈風(fēng)險(xiǎn)傳播研究中,建立了供應(yīng)鏈網(wǎng)絡(luò)風(fēng)險(xiǎn)傳播模型。結(jié)果表明，當(dāng)風(fēng)險(xiǎn)傳播概率小于風(fēng)險(xiǎn)傳播閾值時(shí)，供應(yīng)鏈網(wǎng)絡(luò)可以吸收風(fēng)險(xiǎn)。當(dāng)風(fēng)險(xiǎn)傳播概率大于風(fēng)險(xiǎn)傳播閾值時(shí)，供應(yīng)鏈網(wǎng)絡(luò)將會(huì)受到風(fēng)險(xiǎn)影響。文獻(xiàn)[18]研究在復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)中，節(jié)點(diǎn)具有感染方向的新型SIS模型動(dòng)力學(xué)特性。用時(shí)滯來(lái)描述帶有方向感染過(guò)程中節(jié)點(diǎn)的狀態(tài)，運(yùn)用平均場(chǎng)函數(shù)理論求出傳播的臨界值，運(yùn)用數(shù)學(xué)分析方法驗(yàn)證網(wǎng)絡(luò)穩(wěn)定性。結(jié)果表明，傳播臨界值與實(shí)質(zhì)因素?zé)o關(guān)。Xu等[19]基于SIS模型的隨機(jī)微分方程，提出了一種新型的隨機(jī)臨界值理論。文獻(xiàn)[20]研究在非線(xiàn)性發(fā)生率情況下，一系列隨機(jī)SIS病毒模型中病毒的持續(xù)和消弭。結(jié)果表明，臨界值對(duì)病毒的持續(xù)和消弭產(chǎn)生重要的影響。文獻(xiàn)[21]研究在非線(xiàn)性發(fā)生率和周期系數(shù)情況下的，隨機(jī)SIS病毒模型的動(dòng)力學(xué)行為，運(yùn)用了Khasminskill的邊界周期馬爾科夫過(guò)程，模型的隨機(jī)周期解的存在性得到了求證。

以上文獻(xiàn)研究了SIS病毒傳播模型在無(wú)向網(wǎng)絡(luò)中的傳播動(dòng)力學(xué)行為，然而對(duì)SIS病毒傳播模型在有向網(wǎng)絡(luò)中傳播動(dòng)力學(xué)的研究相對(duì)較少。本文研究SIS病毒傳播模型在單向規(guī)則網(wǎng)絡(luò)中的傳播動(dòng)力學(xué)行為，規(guī)則網(wǎng)絡(luò)選取ER隨機(jī)網(wǎng)絡(luò)，網(wǎng)絡(luò)規(guī)模為n。運(yùn)用數(shù)學(xué)語(yǔ)言和簡(jiǎn)單的圖形描述病毒在網(wǎng)絡(luò)中的傳播，運(yùn)用平均場(chǎng)理論得出病毒傳播的理論模型，運(yùn)用數(shù)學(xué)方法求得病毒的臨界值，臨界值與出度的平均度呈反比例關(guān)系。傳播臨界值與病毒的傳播概率呈正比例關(guān)系與恢復(fù)概率呈正比例關(guān)系。恢復(fù)臨界值與傳播概率和出度平均度呈正比例關(guān)系。

1 模型描述

1.1 感染過(guò)程數(shù)學(xué)描述

表1 符號(hào)說(shuō)明

Step1網(wǎng)絡(luò)選取ER隨機(jī)網(wǎng)絡(luò)，出度平均度〈k〉out，網(wǎng)絡(luò)規(guī)模為n，感染概率為λ，恢復(fù)概率為δ。初始感染節(jié)點(diǎn)為i，出度為ki，初始感染密度ρk(0)=0。

Step3當(dāng)傳播時(shí)間為t時(shí)，網(wǎng)絡(luò)中初始感染節(jié)點(diǎn)的密度為ρk(t-1)，此階段感染節(jié)點(diǎn)密度為(1-δ)ρk(t-1)+λ〈k〉out(1-ρk(t-1))ρk(t-1)。此階段恢復(fù)為易感狀態(tài)的節(jié)點(diǎn)密度為δρk(t)，此時(shí)處于感染狀態(tài)的節(jié)點(diǎn)密度為(1-δ)ρk(t-1)+λ〈k〉out(1-ρk(t-1))ρk(t-1)-δρk(t)。

Step4當(dāng)t→∞時(shí)，網(wǎng)絡(luò)的穩(wěn)態(tài)感染密度為ρ*，此階段屬于感染狀態(tài)的節(jié)點(diǎn)數(shù)為(1-δ)ρ*+λ〈k〉out(1-ρ*)ρ*。感染節(jié)點(diǎn)以δ的概率恢復(fù)為易感狀態(tài)，此階段恢復(fù)為易感狀態(tài)的節(jié)點(diǎn)密度為δρ*。此時(shí)處于感染狀態(tài)的節(jié)點(diǎn)密度為(1-δ)ρ*+λ〈k〉out(1-ρ*)ρ*-δρ*。

1.2 感染過(guò)程圖形描述

圖1 感染過(guò)程實(shí)例描述

Step5節(jié)點(diǎn)1和3處于感染狀態(tài)，節(jié)點(diǎn)4和5恢復(fù)為易感狀態(tài)。該階段處于感染狀態(tài)的節(jié)點(diǎn)為1、3。節(jié)點(diǎn)2和5的感染概率都為λ，感染節(jié)點(diǎn)1和3的恢復(fù)概都為δ。

Step7節(jié)點(diǎn)3恢復(fù)為易感狀態(tài)，網(wǎng)絡(luò)中所有節(jié)點(diǎn)全部處于易感狀態(tài)。此時(shí)網(wǎng)絡(luò)處于穩(wěn)定狀態(tài)。

2 理論模型構(gòu)建

由感染模型中的數(shù)學(xué)描述可以得到如下節(jié)點(diǎn)傳播的遞推式，模型中節(jié)點(diǎn)出度為k，在t+1時(shí)刻節(jié)點(diǎn)感染密度即可表示為：

ρk(t+1)=(1-δ)ρk(t)+λ〈k〉out(1-ρk(t))ρk(t)

(1)

在網(wǎng)絡(luò)傳播達(dá)到穩(wěn)定狀態(tài)情況時(shí)，節(jié)點(diǎn)出度為k時(shí)的感染密度可表示為：

(2)

ρ*=(1-δ)ρ*+λ〈k〉out(1-ρ*)ρ*

(3)

對(duì)式(3)進(jìn)行處理可以得到：

(4)

理論分析結(jié)果表明，病毒在單向網(wǎng)絡(luò)中同樣存在臨界值，傳播臨界值與網(wǎng)絡(luò)的出度平均度和恢復(fù)概率有關(guān)。理論分析結(jié)果概括如下：

結(jié)論1：當(dāng)恢復(fù)概率δ為定值時(shí)，傳播臨界值λc與網(wǎng)絡(luò)的出度平均度呈反比例關(guān)系。

結(jié)論2：當(dāng)網(wǎng)絡(luò)的出度的平均度為定值時(shí)，發(fā)生臨界現(xiàn)象時(shí)的傳播概率和恢復(fù)概率呈線(xiàn)性關(guān)系。當(dāng)恢復(fù)概率δ為1時(shí)，即感染節(jié)點(diǎn)完全恢復(fù)時(shí)，臨界值為:

理論分析結(jié)果表明，即使感染節(jié)點(diǎn)完全恢復(fù)，網(wǎng)絡(luò)同樣存在臨界現(xiàn)象。

結(jié)論3：當(dāng)恢復(fù)概率δ為1時(shí)，傳播臨界值只與網(wǎng)絡(luò)的出度的平均度有關(guān)，并且與出度平均度呈反比例關(guān)系。

對(duì)式(3)進(jìn)行處理可以得到：

δ=λ〈k〉out(1-ρ*)

(5)

δc=λ〈k〉out

理論分析結(jié)果表明，恢復(fù)臨界值與網(wǎng)絡(luò)的出度平均度和傳播概率有關(guān)。理論分析結(jié)果概括如下：

結(jié)論4：當(dāng)傳播概率λ為定值時(shí)，恢復(fù)臨界值與網(wǎng)路的出度平均度呈正比例關(guān)系。

結(jié)論5：當(dāng)網(wǎng)絡(luò)的出度的平均度為定值時(shí)，發(fā)生臨界現(xiàn)象時(shí)的傳播概率和恢復(fù)概率呈線(xiàn)性關(guān)系。

3 傳播臨界值仿真分析

為了驗(yàn)證上述理論分析的結(jié)論和相應(yīng)的分析結(jié)果，本文采用VB語(yǔ)言進(jìn)行數(shù)值仿真，仿真結(jié)果主要側(cè)重于相關(guān)因素對(duì)臨界值的影響程度。仿真實(shí)驗(yàn)所用ER隨機(jī)網(wǎng)絡(luò)均為隨機(jī)產(chǎn)生，仿真結(jié)果為多次仿真結(jié)果的平均值，并且隨著仿真的進(jìn)行，網(wǎng)絡(luò)的結(jié)構(gòu)也會(huì)發(fā)生相應(yīng)的調(diào)整。

首先研究，當(dāng)恢復(fù)概率δ為定值，網(wǎng)絡(luò)穩(wěn)態(tài)感染密度ρ*和傳播概率λ的關(guān)系。模型中的參數(shù)取值為：恢復(fù)概率δ=0.8，出度的平均度〈k〉out=3和〈k〉out=4，初始感染密度為ρ0=0.001、ρ0=0.005、ρ0=0.01。在以上參數(shù)取值情況下，對(duì)網(wǎng)絡(luò)進(jìn)多次仿真，仿真結(jié)果如圖2所示。

圖2 恢復(fù)概率為定值時(shí)，穩(wěn)態(tài)感染密度和傳播概率的關(guān)系

其次研究，網(wǎng)傳播概率λ為定值，網(wǎng)絡(luò)穩(wěn)態(tài)感染密度ρ*和恢復(fù)概率δ的關(guān)系。模型中的參數(shù)取值為：傳播概率λ=0.2，出度的平均度〈k〉out=3和〈k〉out=4，初始感染密度為ρ0=0.001、ρ0=0.005、ρ0=0.01。在以上參數(shù)取值情況下，對(duì)網(wǎng)絡(luò)進(jìn)行多次仿真，仿真結(jié)果如圖3所示。

由圖3可得，病毒傳播不僅存在臨界現(xiàn)象，而且恢復(fù)臨界值存在一定的規(guī)律。網(wǎng)絡(luò)的初始感染密度不同時(shí)，臨界值有所不同，隨著初始感染密度ρ0的增大，網(wǎng)絡(luò)臨界值逐漸增大。即使初始感染密度不同，當(dāng)恢復(fù)概率δ=0時(shí)，網(wǎng)絡(luò)的穩(wěn)態(tài)感染密度趨于相同值，網(wǎng)絡(luò)處于穩(wěn)態(tài)下節(jié)點(diǎn)基本全部發(fā)生感染。由圖3可得，出度的平均度〈k〉out越大，臨界值越大。實(shí)驗(yàn)結(jié)果表明，當(dāng)傳播概率λ為定值時(shí)，恢復(fù)臨界值與出度平均度呈現(xiàn)正比例關(guān)系，與結(jié)論2基本一致。在同種網(wǎng)絡(luò)中，即使初始感染有所密度不同，但是伴隨著恢復(fù)概率的增大，穩(wěn)態(tài)感染密度的值都趨于相同值。在初度平均度不同的網(wǎng)絡(luò)，隨著恢復(fù)概率的不斷變小，網(wǎng)絡(luò)的穩(wěn)態(tài)感染密度趨于相同值。伴隨恢復(fù)概率的增大，不同網(wǎng)絡(luò)穩(wěn)態(tài)感染密度的差別逐漸增大。

接著研究，網(wǎng)絡(luò)恢復(fù)概率δ=1時(shí)，即感染節(jié)點(diǎn)全部恢復(fù)情況下，網(wǎng)絡(luò)穩(wěn)態(tài)感染密度ρ*和傳播概率λ的關(guān)系。模型中的參數(shù)取值為：恢復(fù)概率δ=1，出度的平均度〈k〉out=3和〈k〉out=4，初始感染密度為ρ0=0.001、ρ0=0.005、ρ0=0.01。在以上參數(shù)取值情況下，對(duì)網(wǎng)絡(luò)進(jìn)行多次仿真，仿真結(jié)果如圖4所示。

由圖4可得，即使恢復(fù)概率δ=1，網(wǎng)絡(luò)依然存在臨界現(xiàn)象，并且臨界值存在一定的規(guī)律。網(wǎng)絡(luò)的在初始感染密度不同時(shí)，臨界值有所不同，隨著初始感染密度ρ0的增大，網(wǎng)絡(luò)傳播臨界值的逐漸變小。當(dāng)傳播概率大于臨界值時(shí)，穩(wěn)態(tài)感染密度由0急劇上升，但是隨著傳播概率的逐漸增大，網(wǎng)絡(luò)穩(wěn)態(tài)感染密度增長(zhǎng)較為緩慢。即使初始感染密度不同，隨著傳播概率的增大，穩(wěn)態(tài)感染密度趨于相同值。隨著傳播概率的增大，穩(wěn)態(tài)感染密度趨于相同值。隨著網(wǎng)絡(luò)出度平均度〈k〉out的增大，傳播臨界值逐漸減小。當(dāng)傳播概率λ=1時(shí)，穩(wěn)態(tài)密度下網(wǎng)絡(luò)有近半的節(jié)點(diǎn)發(fā)生感染。實(shí)驗(yàn)結(jié)果表明，當(dāng)恢復(fù)概率δ為1時(shí)，臨界值與出度平均度有關(guān)，臨界值與出度平均度呈反比例關(guān)系，與結(jié)論3基本一致。

最后研究，當(dāng)網(wǎng)絡(luò)發(fā)生臨界現(xiàn)象時(shí)，臨界值的理論值和仿真值之間的關(guān)系。模型中的參數(shù)取值為：出度的平均度〈k〉out=4，初始感染密度為ρ0=0.001、ρ0=0.005、ρ0=0.01、ρ0=0.5、ρ0=1。在以上參數(shù)取值情況下，對(duì)網(wǎng)絡(luò)進(jìn)行多次仿真，仿真結(jié)果如圖5所示。

圖5 出度平均度為4時(shí)，理論值和仿真值之間的關(guān)系

圖中加粗的直線(xiàn)為臨界值的理論值，在初始感染密度不同時(shí)，網(wǎng)絡(luò)臨界值的仿真值也有所不同，每組的仿真值都是隨著傳播概率的增大而進(jìn)行線(xiàn)性增長(zhǎng)。當(dāng)初始感染密度ρ0=0.001時(shí)，在此情況下，臨界值的仿真值和理論值之間具有較大的誤差。當(dāng)初始感染密度ρ0=0.5時(shí)，臨界值的仿真值于理論值誤差最小，并且隨著傳播概率的增大，臨界值的仿真值與理論值之間的誤差越來(lái)越小。當(dāng)初始感染密度ρ0=1，傳播概率λ<0.15時(shí)，臨界值的仿真值與理論值誤差較小，當(dāng)λ>0.15時(shí)，臨界值的仿真值不僅超過(guò)了理論值，并且隨著傳播概率的增大，臨界值與理論值的誤差值逐漸增大。當(dāng)網(wǎng)絡(luò)的出度平均度〈k〉out為定值時(shí)，發(fā)生臨界現(xiàn)象時(shí)的傳播概率與恢復(fù)概率呈線(xiàn)性關(guān)系，與結(jié)論4和5結(jié)論基本一致。

由圖2-圖5可以看出，在特定的情況下，病毒在單向網(wǎng)絡(luò)中傳播，總會(huì)存在臨界現(xiàn)象。并且發(fā)現(xiàn)發(fā)生臨界現(xiàn)象時(shí)的傳播臨界值和恢復(fù)臨界值與網(wǎng)絡(luò)的初度平均度呈線(xiàn)性關(guān)系。理論分析的五個(gè)結(jié)論在仿真分析中均得到了有效的驗(yàn)證。除此之外，從四個(gè)圖的仿真結(jié)果還顯示，在同種網(wǎng)絡(luò)中臨界值也會(huì)存在差異，并且網(wǎng)絡(luò)趨于吸收相態(tài)時(shí)的速率有很大的差別。在不同網(wǎng)絡(luò)中，網(wǎng)絡(luò)臨界值與初度平均度和初始感染密度有關(guān)。最后實(shí)驗(yàn)的仿真值和理論值之間的關(guān)系圖顯示，理論值和仿真值存在一定的誤差，并且在初始感染密度趨于某些值時(shí)，誤差可以得到有效控制。

4 結(jié) 語(yǔ)

基于SIS病毒傳播模型的網(wǎng)絡(luò)傳播過(guò)程中，臨界值與網(wǎng)絡(luò)平均度密切相關(guān)。理論分析表明，當(dāng)傳播概率為定值時(shí)，網(wǎng)絡(luò)的恢復(fù)臨界值與網(wǎng)絡(luò)的出度平均度呈正比例關(guān)系。并且發(fā)生臨界現(xiàn)象時(shí)，傳播概率和恢復(fù)概率呈線(xiàn)性關(guān)系。恢復(fù)概率為定值時(shí)，網(wǎng)絡(luò)傳播臨界值與網(wǎng)絡(luò)的出度平均度呈反比例關(guān)系。恢復(fù)概率為1時(shí)，傳播臨界值與初度平均度同樣呈反比例關(guān)系。研究結(jié)果表明，單向網(wǎng)絡(luò)的臨界值同樣存在，并且與單向網(wǎng)絡(luò)的出度平均度相關(guān)。傳播臨界值隨著出度平均度的線(xiàn)性增加而減小。當(dāng)恢復(fù)概率和出度平均度為定值時(shí)，隨著初始感染密度的線(xiàn)性增大，臨界值的仿真值也呈線(xiàn)性增長(zhǎng)的趨勢(shì)。相反，當(dāng)傳播概率和出度平均度為定值時(shí)，臨界值的仿真值也隨著初始感染密度的變化而變化。隨著初始感染密度的增加，臨界值的仿真值與理論值之間的誤差逐漸縮小。本文提出了基于SIS病毒傳播模型的單向網(wǎng)絡(luò)傳播模型，利用簡(jiǎn)單的數(shù)學(xué)和圖形描述來(lái)刻畫(huà)病毒在單向網(wǎng)絡(luò)中的傳播過(guò)程，利用平均場(chǎng)理論研究該模型在均勻單向網(wǎng)絡(luò)中的傳播動(dòng)力學(xué)行為。實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證了理論分析的五個(gè)結(jié)論，本文只考慮了均勻單向網(wǎng)絡(luò)，在實(shí)際生活中大多網(wǎng)絡(luò)是無(wú)標(biāo)度網(wǎng)絡(luò)。未來(lái)會(huì)對(duì)單向無(wú)標(biāo)度網(wǎng)絡(luò)進(jìn)行進(jìn)一步的詳細(xì)研究，以豐富復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)臨界值的研究。