復變函數中孤立奇點的判別

苗保山 張文英 解妮 童小紅

摘要：先給出復變函數的零點及階數，再根據零點和孤立奇點的關系，給出判斷孤立奇點類型的方法.

關鍵詞：零點；階數；孤立奇點

中圖分類號：O174.5 文獻標志碼：A 文章編號：1674-9324（2018）39-0203-02

一、引言

在復變函數[1]中，把孤立奇點分成三種類型：可去奇點、極點和本性奇點.教材中給出了兩種判別孤立奇點類型的方法，一種是在奇點的去心鄰域內將函數展開成羅倫階數，根據負冪項的有無及多少來判斷，但是要將有些函數展開成羅倫階數比較困難；另外一種是對函數求極限，根據極限值來判斷，此種方法可以求出孤立奇點是函數的哪一類奇點，但若是函數的極點，卻不能判斷出極點的階數.

一些文章[2-6]也給出了求孤立奇點類型的方法.本文先求出函數分母的零點，再根據零點和孤立奇點的關系，最后給出判斷復變函數孤立奇點類型的方法.

二、函數的零點

（一）沒有因子表達式的零點

1.定義：若不恒等于零的函數f（z）可表示成f（z）=（z-z ） φ（z），其中函數φ（z）在z 解析，且φ（z ）≠0（m≥1）且為正整數，那么z 稱為函數f（z）的m階零點.

例1：求函數z -z -z+1的零點及階數.

因為z -z -z+1=（z-1） （z+1），所以z=1是2階零點；z=-1是1階零點.

例2：證明z=0是函數z-sinz的3階零點.

證明：將sinz在0點展開成泰勒級數，然后得

z-sinz=z-z- z + z - z +……=z

- z + z +……

而 - z + z +……在0解析，且在0點的值不等于0，

∴0是函數z-sinz的3階零點.

若函數f（z）不易表示成（z-z ） φ（z）的形式，則可用定理1[1]判定.

2.定理1：若函數f（z）在z 解析，則z 是函數f（z）的m（m≥1）階零點的充要條件：f （z ）=0，n=0，1，2，…，m-1，f （z ）≠0.

（二）函數f（z）=P（z）·Q（z）的零點

推論：若函數f（z）=P（z）·Q（z），且z 是函數P（z）的m（m≥1）階零點，也是函數Q（z）的n（n≥0）階零點，則

z 是函數f（z）=P（z）·Q（z）的m+n階零點.

根據定義、定理及推論，并結合泰勒展式，得到函數f（z）的零點及其階數.

三、函數f（z）= 的奇點

函數的零點與極點有下面的關系：

定理2[1]：如果z 是函數f（z）的m階極點，那么z 就是函數 的m階零點.反之亦然.

根據定理2，可得到如下推論：

推論2：若函數f（z）= ，點z 是函數h（z）的

m（m≥1）階零點，也是函數g（z）的n（n≥0）階零點，

則：（1）當n≥m時，點z 為函數f（z）的可去奇點；

（2）當n

證：∵點z 是函數h（z）的m（m≥1）階零點，

∴h（z）=（z-z ） φ（z），其中函數φ（z）在z 點解析，且φ（z ）≠0；

又∵點z 是函數g（z）的n（n≥0）階零點，

∴g（z）=（z-z ） ？準（z），其中函數？準（z）在z 點解析，且？準（z ）≠0.

∴f（z）= =（z-z ） ，其中函數 在z 點解析，且 ≠0，

∴（1）當n≥m時，函數f（z）在點z 的去心鄰域的洛朗展開式中沒有（z-z ）的負冪項，故點z 為函數f（z）的可去奇點.

（2）當n

例3：求下列函數的孤立奇點及其類型，如果是極點，并求出極點的階數.

（1） ；（2） ；（3） ；（4） ；（5） .

解：（1）0是分母z的1階零點，是分子sinz的1階零點，所以0是函數 的可去奇點.

由 =1- z + z -……，0

（2）0是分母z的1階零點，是分子sinz 的3階零點，所以0是函數 的可去奇點.

由 =z - z + z -……，0

（3）0是分母z 的3階零點，是分子sinz的1階零點，所以0是函數 的2階極點.

由 =z - + z -……，0<|z-0|<+∞可得出相同的結論.

（4）分母中，z=i（1+2k），k=0，±1，±2，……是因式1+e 的1階零點，且當k=0，-1時對應的±i也是因式1+z 的1階零點，所以±i是分母（1+e ）（1+z ）的2階零點；z=i（1+2k），k=0，±1，±2，……是分子的0階零點.所以±i是函數 的2階極點，而z=i（1+2k），k=1，±2，……是函數 的1階極點.

（5）因為z=0，±1，±2，……是分母（sin（πz）） 的3階零點；又因為z=0是分子z（z-1） 的1階零點，z=1是分子z（z-1） 的2階零點.所以z=0是函數 的2階極點，z=1是 的2階極點，z=-1，±2，……是函數 的3階極點.

本文所給方法與文章[2-6]所給方法略有不同， 該方法是先得到函數分母的零點及其階數，再判斷該零點是函數分子的幾階零點，從而得到函數孤立奇點的類型，有助于計算復變函數沿封閉曲線的積分. 參考文獻：

[1]李紅，謝松法.復變函數與積分變換[M].北京：高等教育出版社，2013.

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[3]喻敏，王文波，馬建清，胡佳.一類極點階數的判斷[J].高師理科學刊，2016，36（5）：18-19.

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