SPWM單相逆變器的建模與瞬態(tài)分析

趙曉燕，程旭，甘德樹，裴星宇

（廣東電網(wǎng)有限責(zé)任公司珠海供電局，廣東珠海，519000）

1 SPWM單相逆變器的數(shù)學(xué)模型

SPWM單相逆變器的電路如圖1所示，其中T1、T2、T3、T4均為理想開關(guān)。該逆變器存在兩種工作模態(tài)。模態(tài)1，T1、T4導(dǎo)通，T2、T3關(guān)斷；模態(tài)2，T2、T3導(dǎo)通，T1、T4關(guān)斷。定義非線性開關(guān)函數(shù)δ(t)，當(dāng)系統(tǒng)處于模態(tài)1時(shí)，δ(t)=1；當(dāng)系統(tǒng)處于模態(tài)2時(shí)，δ(t)=0。選取電感電流iL和電容電壓vC為狀態(tài)變量，兩種模態(tài)下，系統(tǒng)狀態(tài)方程分別如式（1）所示。

圖1 SPWM單相逆變器

聯(lián)立（1）與δ(t)，SPWM單相逆變器可用如下狀態(tài)方程描述：

其中x=[i v]T表示系統(tǒng)的狀態(tài)變量向量；u=[-E/L 0]LC表示輸入電壓向量；G1(p)、G2(p)為系數(shù)矩陣，p為微分算子d/dt；f=δe為非線性矢量函數(shù)，e=[-2E/L 0]T為一個(gè)與輸入電壓有關(guān)的常向量。

2 等效小參量法求系統(tǒng)瞬態(tài)解

等效小參量法結(jié)合了諧波平衡法和擾動(dòng)法的優(yōu)點(diǎn)，是一種適用于強(qiáng)非線性系統(tǒng)的符號(hào)分析方法，已廣泛應(yīng)用于DC-DC變換器的穩(wěn)態(tài)和瞬態(tài)分析中。在這里，本文將等效小參量法拓展到SPWM單相逆變器的瞬態(tài)分析中。

根據(jù)等效小參量法原理，狀態(tài)變量x和非線性開關(guān)函數(shù)δ(t)可以展開為主量與小量之和的形式：

其中x0為主分量，xi為x的第i階修正量；同理δ0為主分量，δi為δ(t)的第i階修正量。ε為小量標(biāo)記，用于指明＜＜ x0，當(dāng)需要給定具體數(shù)值時(shí)，令ε=1。

將（4）代入f=δe中可得：

將x0與xi用傅里葉級(jí)數(shù)展開為：

其中c.c表示復(fù)數(shù)的共軛項(xiàng)；k為整數(shù)；τ=ωt=2πt/T；E0為主分量x0的頻譜，一般由研究對(duì)象的物理常識(shí)確定；Eir為i階修正量xi的頻譜，由迭代過程逐步確定。

與DC-DC變換器不同，SPWM逆變器的開關(guān)函數(shù)由調(diào)制波和載波比較產(chǎn)生。當(dāng)調(diào)制波信號(hào)幅值大于載波信號(hào)幅值時(shí)，開關(guān)導(dǎo)通；當(dāng)調(diào)制波信號(hào)幅值小于載波信號(hào)幅值時(shí)，開關(guān)關(guān)斷。正弦調(diào)制波u0和三角載波uk可以表示為：

其中M為調(diào)制比；y=ω0t+θ0，ω0為正弦調(diào)制波角頻率，θ0為正弦調(diào)制波相位；x=ωct+θc，ωc為三角載波角頻率，θc為三角載波相位。

根據(jù)自然采樣法，在一個(gè)周期[-π，π]內(nèi)，開關(guān)函數(shù)δ(t)可以表示為：

其中ton為開關(guān)導(dǎo)通時(shí)刻，toff為開關(guān)關(guān)斷時(shí)刻。令u0=uk即可得到ton和toff的表達(dá)式為：

采用雙重傅里葉級(jí)數(shù)將δ(t)展開，可以得到：

其中：

式（10）、（11）中 m、n為常數(shù)，m表示三角載波的諧波次數(shù)，n表示正弦調(diào)制波的諧波次數(shù)。將（11）代入（10）并引入貝塞爾函數(shù)化簡(jiǎn)積分，可以將開關(guān)函數(shù)δ(t)表示為：

通常情況下，我們選取δ0和δi為：

將（13）代入f=δe可以得到：

其中f0m為f0的主量，包含f0中所有與x0具有相同頻率成分的項(xiàng)，R1為f0的余項(xiàng)，包含f0中所有與x0具有不同頻率成分的項(xiàng)；類似的，fim為fi的主量，包含fi中所有與xi具有相同頻率成分的項(xiàng)，Ri+1為fi的余項(xiàng)，包含fi中所有與xi具有不同頻率成分的項(xiàng)。

根據(jù)諧波平衡法，將（4）、（5）代入（2）并令等式兩邊 ε階次相同的量分別相等可以得到：

式（15）中每個(gè)等式都是線性微分方程，且有初值x(0)=0，x’(0)=0。因此容易求得主振蕩分量及各階修正項(xiàng)（含瞬態(tài)解）。

對(duì)于 SPWM單相逆變器，取E0={0}，因此 x0=a00。將（13）代入（5），其中f0m包含f0中與x0頻譜相同的項(xiàng)，R1包含f0中的其余項(xiàng)可得：

將（16）代入（15）可得 ：

根據(jù)（16）中R1的諧波成分可得x1的頻譜E1={1}。因此可取 x1=a11ejτ+c.c。同理可得 ：

將（18）代入（15）可得 ：

以此類推，可以得到i階分量xi的通式為：

其中aii由式（21）求得。

由于（17）（19）（21）均為線性微分方程，且其初值xi(0)=0，xi’(0)=0。因此易求得主振蕩分量x0及各階修正量xi。

對(duì)于SPWM單相逆變器，其狀態(tài)變量的頻譜主要集中在調(diào)制波頻率分量、載波頻率分量以及調(diào)制波和載波的邊帶頻率分量。因此，SPWM單相逆變器狀態(tài)變量的瞬態(tài)近似解析解可以表示為：

其中A1為調(diào)制波頻率分量的幅值，A3為載波頻率分量的幅值，A2、A4為邊帶頻率分量的幅值。

3 仿真驗(yàn)證

通過Matlab/Simulink搭建仿真平臺(tái)進(jìn)行仿真驗(yàn)證，SPWM單相逆變器的電路參數(shù)如表1所示。

表1 SPWM單相逆變器仿真參數(shù)

2（a）電容電壓vC

2（b）電容電壓vC瞬態(tài)紋波

2（c）電感電流iL

圖2 等效小參量法計(jì)算結(jié)果與仿真結(jié)果對(duì)比圖

根據(jù)諧波平衡法可以求得其穩(wěn)態(tài)解為：

由式（19）求得其1階瞬態(tài)解為：

在這里根據(jù)文獻(xiàn)[8]提出的簡(jiǎn)化算法，即去掉（24）中的穩(wěn)態(tài)分量后與穩(wěn)態(tài)解析解（23）之和作為SPWM單相逆變器狀態(tài)變量的瞬態(tài)解析解：

仿真結(jié)果與本文所用方法計(jì)算結(jié)果對(duì)比如圖2所示。從圖2可以看出，采用本文所提出的方法得到的波形與仿真波形基本一致，從而驗(yàn)證了該方法的正確性。

4 結(jié)論

等效小參量法結(jié)合了擾動(dòng)法與諧波平衡法的優(yōu)點(diǎn)，可以得到系統(tǒng)狀態(tài)變量的解析解。本文將等效小參量法擴(kuò)展應(yīng)用到SPWM單相逆變器的瞬態(tài)分析中，通過引入雙重傅里葉級(jí)數(shù)將非線性開關(guān)函數(shù)展開，最終得到系統(tǒng)狀態(tài)變量瞬態(tài)過程的解析解。解析解包含了調(diào)制波頻率分量、載波頻率分量以及調(diào)制波和載波的邊帶分量，精確地反映了系統(tǒng)開關(guān)過程中的紋波幅值變化。該方法相比于狀態(tài)空間平均法，彌補(bǔ)了其不能分析紋波的特點(diǎn)；相比于動(dòng)態(tài)向量法、擾動(dòng)法、諧波平衡法等克服了其計(jì)算量大的問題。通過仿真與計(jì)算結(jié)果進(jìn)行對(duì)比，驗(yàn)證了該方法的準(zhǔn)確性。因此可以對(duì)系統(tǒng)的穩(wěn)定性分析以及電路的參數(shù)設(shè)計(jì)提供理論參考。