SPWM單相逆變器的建模與瞬態分析

趙曉燕，程旭，甘德樹，裴星宇

（廣東電網有限責任公司珠海供電局，廣東珠海，519000）

1 SPWM單相逆變器的數學模型

SPWM單相逆變器的電路如圖1所示，其中T1、T2、T3、T4均為理想開關。該逆變器存在兩種工作模態。模態1，T1、T4導通，T2、T3關斷；模態2，T2、T3導通，T1、T4關斷。定義非線性開關函數δ(t)，當系統處于模態1時，δ(t)=1；當系統處于模態2時，δ(t)=0。選取電感電流iL和電容電壓vC為狀態變量，兩種模態下，系統狀態方程分別如式（1）所示。

圖1 SPWM單相逆變器

聯立（1）與δ(t)，SPWM單相逆變器可用如下狀態方程描述：

其中x=[i v]T表示系統的狀態變量向量；u=[-E/L 0]LC表示輸入電壓向量；G1(p)、G2(p)為系數矩陣，p為微分算子d/dt；f=δe為非線性矢量函數，e=[-2E/L 0]T為一個與輸入電壓有關的常向量。

2 等效小參量法求系統瞬態解

等效小參量法結合了諧波平衡法和擾動法的優點，是一種適用于強非線性系統的符號分析方法，已廣泛應用于DC-DC變換器的穩態和瞬態分析中。在這里，本文將等效小參量法拓展到SPWM單相逆變器的瞬態分析中。

根據等效小參量法原理，狀態變量x和非線性開關函數δ(t)可以展開為主量與小量之和的形式：

其中x0為主分量，xi為x的第i階修正量；同理δ0為主分量，δi為δ(t)的第i階修正量。ε為小量標記，用于指明＜＜ x0，當需要給定具體數值時，令ε=1。

將（4）代入f=δe中可得：

將x0與xi用傅里葉級數展開為：

其中c.c表示復數的共軛項；k為整數；τ=ωt=2πt/T；E0為主分量x0的頻譜，一般由研究對象的物理常識確定；Eir為i階修正量xi的頻譜，由迭代過程逐步確定。

與DC-DC變換器不同，SPWM逆變器的開關函數由調制波和載波比較產生。當調制波信號幅值大于載波信號幅值時，開關導通；當調制波信號幅值小于載波信號幅值時，開關關斷。正弦調制波u0和三角載波uk可以表示為：

其中M為調制比；y=ω0t+θ0，ω0為正弦調制波角頻率，θ0為正弦調制波相位；x=ωct+θc，ωc為三角載波角頻率，θc為三角載波相位。

根據自然采樣法，在一個周期[-π，π]內，開關函數δ(t)可以表示為：

其中ton為開關導通時刻，toff為開關關斷時刻。令u0=uk即可得到ton和toff的表達式為：

采用雙重傅里葉級數將δ(t)展開，可以得到：

其中：

式（10）、（11）中 m、n為常數，m表示三角載波的諧波次數，n表示正弦調制波的諧波次數。將（11）代入（10）并引入貝塞爾函數化簡積分，可以將開關函數δ(t)表示為：

通常情況下，我們選取δ0和δi為：

將（13）代入f=δe可以得到：

其中f0m為f0的主量，包含f0中所有與x0具有相同頻率成分的項，R1為f0的余項，包含f0中所有與x0具有不同頻率成分的項；類似的，fim為fi的主量，包含fi中所有與xi具有相同頻率成分的項，Ri+1為fi的余項，包含fi中所有與xi具有不同頻率成分的項。

根據諧波平衡法，將（4）、（5）代入（2）并令等式兩邊 ε階次相同的量分別相等可以得到：

式（15）中每個等式都是線性微分方程，且有初值x(0)=0，x’(0)=0。因此容易求得主振蕩分量及各階修正項（含瞬態解）。

對于 SPWM單相逆變器，取E0={0}，因此 x0=a00。將（13）代入（5），其中f0m包含f0中與x0頻譜相同的項，R1包含f0中的其余項可得：

將（16）代入（15）可得 ：

根據（16）中R1的諧波成分可得x1的頻譜E1={1}。因此可取 x1=a11ejτ+c.c。同理可得 ：

將（18）代入（15）可得 ：

以此類推，可以得到i階分量xi的通式為：

其中aii由式（21）求得。

由于（17）（19）（21）均為線性微分方程，且其初值xi(0)=0，xi’(0)=0。因此易求得主振蕩分量x0及各階修正量xi。

對于SPWM單相逆變器，其狀態變量的頻譜主要集中在調制波頻率分量、載波頻率分量以及調制波和載波的邊帶頻率分量。因此，SPWM單相逆變器狀態變量的瞬態近似解析解可以表示為：

其中A1為調制波頻率分量的幅值，A3為載波頻率分量的幅值，A2、A4為邊帶頻率分量的幅值。

3 仿真驗證

通過Matlab/Simulink搭建仿真平臺進行仿真驗證，SPWM單相逆變器的電路參數如表1所示。

表1 SPWM單相逆變器仿真參數

2（a）電容電壓vC

2（b）電容電壓vC瞬態紋波

2（c）電感電流iL

圖2 等效小參量法計算結果與仿真結果對比圖

根據諧波平衡法可以求得其穩態解為：

由式（19）求得其1階瞬態解為：

在這里根據文獻[8]提出的簡化算法，即去掉（24）中的穩態分量后與穩態解析解（23）之和作為SPWM單相逆變器狀態變量的瞬態解析解：

仿真結果與本文所用方法計算結果對比如圖2所示。從圖2可以看出，采用本文所提出的方法得到的波形與仿真波形基本一致，從而驗證了該方法的正確性。

4 結論

等效小參量法結合了擾動法與諧波平衡法的優點，可以得到系統狀態變量的解析解。本文將等效小參量法擴展應用到SPWM單相逆變器的瞬態分析中，通過引入雙重傅里葉級數將非線性開關函數展開，最終得到系統狀態變量瞬態過程的解析解。解析解包含了調制波頻率分量、載波頻率分量以及調制波和載波的邊帶分量，精確地反映了系統開關過程中的紋波幅值變化。該方法相比于狀態空間平均法，彌補了其不能分析紋波的特點；相比于動態向量法、擾動法、諧波平衡法等克服了其計算量大的問題。通過仿真與計算結果進行對比，驗證了該方法的準確性。因此可以對系統的穩定性分析以及電路的參數設計提供理論參考。