無心插柳柳成蔭

李光平

摘要：因為一次備課不夠嚴謹，導致選擇了一個錯誤的例題帶到課堂上讓學生解題；但慶幸的是，學生發現了命題的科學性有問題，并提出了四種反駁理由，把原本平淡無奇的課堂推向了一個又一個思維高峰。

關鍵詞：反駁；科學性；思維

原景再現：這一天是2018年4月23日，不是什么具有特別紀念意義的日子，但是這一天卻讓我印象如此深刻——我居然拿著一個錯誤的例題給學生做，更沒想到學生的出色表現讓我驚訝不已。

例題（選自東博文化傳媒《高職考專項突破訓練優化解析》數學復習第二輪P115例4）

已知橢圓的焦點是F1（-2，0），F2（2，0），P是橢圓上一點，且|F1F2|是|PF1|，|PF2|的等差中項.（1）求橢圓的標準方程；（2）若∠F1PF2=90°，求△F1PF2的面積。

第一小題，學生快速求出橢圓的標準方程為x2/16+y2/12=1。第二小題看著學生素手無策的神態，于是我很得意地在黑板上講思路分析，講解題技巧，講解題反思。

第（2）題參考答案∵∠F1PF2=90°，∴由勾股定理得|PF1|2+ |PF2|2=|F1F2|2=16

又|PF1|+|PF2|=8，兩邊平方得|PF1|2+2|PF1||PF2|+|PF2|2=64

∴|PF1||PF2|=24，∴△F1PF2的面積S=1/2|PF1||PF2|=12，

我講得是那么地投入，突然下面呂**同學冒出一句“老師，答案好像不科學？”“啥？對我的解題有疑義。”我謹慎地帶領學生仔細梳理了一下黑板上的解題過程。“No problem！Are you sure？”我對著提出問題的學生發問。呂同學有點遲疑。“我也說不好。我不是像你那樣解的。我是把列出的兩個等式解方程組來算，發現代入消元后的方程中，根的判別式小于零。這不應該是無實數解的意思嗎？但是我又說不出你黑板上的方法有什么問題！”我一聽，學生的思路也沒有絲毫問題。不好，今天要出大事了，我心里暗自想，眼睛又快速地看了一下黑板上的橢圓圖象，還真有問題，求出的面積根本不可能做到。

我緩緩轉過身，眼光很嚴肅很認真地掃過每一位同學，說：“呂同學的觀點是（故意拉長聲音）：正確的（臉上綻開笑容）”！你非常棒（豎起大拇指）。“編者把這樣一個錯誤的題目編入復習課本是一個重大的科學性錯誤，而老師選題時沒有對題目的科學性產生任何懷疑是老師的失誤。慶幸的是，今天，你們發現了錯誤并勇敢的提出質疑，老師為你們在解題時具有的這種嚴謹性和批判性表示贊賞。那么，除了用呂同學的觀點反駁例題的科學性錯誤外，其他同學還有什么不同的觀點來說明例題的科學性錯誤”。

話音剛落，柯同學就舉手了。“誒，你怎么可以這么快就想到了”。“其實，您剛才在黑板上講解過程時，我就覺得答案不可能，但是找不出你解題的漏洞，所以我又不敢講出來”。

柯同學的反駁理由：點P可以理解為橢圓上的一個動點，當P運動到短軸端點時，△F1PF2的高最大，而底邊|F1F2|=4在點P運動過程中始終保持不變，那此時的△F1PF2面積最大，且最大值為

，所以

=12不可能。

除了以上兩種反駁觀點能說明本例題（2）出錯外，其他同學還有沒有不同的反駁理由要補充。讓學生思考2分鐘后，又有兩位學生提出了自己的觀點。

黃同學的反駁理由：假設參考答案中△F1PF2的面積S=12成立，因為|F1F2|=4，所以點P到|F1F2|的距離為6

（短半軸長），所以點P必定在橢圓之外，這與已知點P是橢圓上的一點相矛盾。

楊同學的反駁理由：因為|PF1|+|PF2|=8，所以由均值定理得|PF1||PF2|≤[（|PF1|+|PF2|）/2]2=（8/2）2=16

這與參考答案中|PF1||PF2|=24相矛盾。

教師小結：同學們的表現實在是太優秀了。真沒想到一個看似可以做的題目居然是錯的，更沒想到你們竟然能找出這么多的方法來反駁這個題目的科學性錯誤。你們今天的表現恰恰體現了你們已經逐步具備了數學思維的嚴謹性、批判性、深刻性和廣闊性。為你們的精彩表現表示祝賀！（全體鼓掌）換個角度看這個例題，如果不去追究它的科學性，那么在高職考復習中像橢圓的這種涉及“焦點三角形”的問題時，常利用橢圓定義和余弦定理（勾股定理是余弦定理的特殊形式）聯立方程組，再通過將定義式兩邊平方后解題仍然是我們需要掌握的重要解題方法和技巧，請同學們仔細體會并掌握。

反思：教師在備課環節一定要本著嚴謹的態度去對待每一個例習題，盡量避免出現類似的錯誤；但如果意外不可避免地發生了，務必要冷靜對待。著名思想家老子說過：“禍兮福所倚”。有時候意外情況的發生恰恰可能是一筆寶貴的教育資源，抓住契機，變廢為寶才是我們教師應該培養和具有的教育智慧。雖然此題的科學性錯誤并對此進行的深入探討研究打亂了原定的教學計劃，但是在反駁例題科學性的過程中，學生的數學思維被充分調動，讓學生的課堂學習主動性和發散辯證思維得到了完美的展現。一次無心之失，卻獲得盆豐缽滿，真應了那句“無心插柳柳成蔭”。