離散型非線性時滯切換系統的保成本控制問題研究

楊 波

引言

切換系統是一類重要的混雜系統，它是由一族子系統和一個切換規律構成，該規則在某一時刻指定哪個子系統被激活.近年來,切換系統受到了越來越多的關注并取得了大量的研究成果.研究這種系統的主要動機包括以下兩點.首先,從實際應用方面看,不同子系統之間的切換是許多實際系統的一個本質特征,例如,化工過程,運輸系統,計算機控制系統和通訊工業等.其次,從控制觀點看,多個控制器切換提供了一種有效的機制,可以處理具有大量不確定性和/或非常復雜的系統.例如,基于切換控制器的思想,研究者設計了一些智能控制方法以便于改進系統的性能.基于不同的工程背景,各類切換系統已被廣泛研究,見文獻[1-3]等.例如,文獻[1]通過構造三重求和的Lyapunov泛函,研究了具有模式依賴無窮分布時滯的耦合中立性耦合神經網絡的同步性問題.在文獻[2]中,對具有不同類型激勵函數和混合時滯的切換神經網絡,作者給出了相應的被動性分析.

近來,通過駐留時間方法[4]探討切換系統相關問題的研究興趣已日益增加,并取得了一系列的研究成果.值得注意的是,時滯切換系統在工程系統中具有廣闊的應用前景,例如,電力系統和網絡化控制系統等,因此,一些研究人員已經著手研究時滯切換系統的性能.例如,文獻[5]應用平均駐留時間方法給出了一類離散時間時滯切換系統達到指數穩定的充分條件.文獻[6]應用比較原理和平均駐留時間技巧探討了基因調控神經網絡的隨機穩定性問題.

此外,在設計時滯系統控制器時，我們期望閉環系統不僅穩定，而且具有足夠的性能，尤其是當子系統之間存在切換現象的情況下.為了解決這一問題,我們可以考慮保成本控制，其主要思想是利用固定的李雅普諾夫函數給出二次成本函數關于閉環值的上界.目前,已有一些文獻探討了閉環系統的保證成本控制,見文獻[7-11]等.例如,文獻[7]考慮了一類具有脈沖的切換時滯系統,設計了它的魯棒有限時間保成本控制問題.文獻[11]針對具有中立型切換系統設計了具有動態輸出反饋的保成本控制器.

以上這些研究結果主要關于線性時滯系統,設計相應的保成本控制器.然而,非線性時滯切換系統的保成本控制問題卻被忽略,盡管這種控制問題在實際工程應用中非常重要.正是這一情形促使我們對這種系統的保成本控制問題展開研究.

在這篇文章中,我們通過狀態反饋控制方法探討了離散型的非線性時滯切換系統的保成本控制問題.借助平均駐留時間技巧和模式依賴的Lyapunov泛函方法,我們首先給出了保證所考慮的切換系統存在保成本控制器的充分條件及成本函數的上界.接著,我們由一族線性矩陣不等式的可行解表示了所需控制器的增益矩陣.

1 模型的刻畫

考慮一類具有時滯的離散型切換非線性系統:

其中x(k)∈Rn是狀態向量,其初始條件是x(l)=?(l),k0-τ2≤l≤k0；f和 g：Rn→Rn是系統的非線性函數,u(k)∈Rn是控制輸入信號.τ(k)表示有界的離散時滯,滿足 τ1≤τ(k)≤τ2.{(Aσ(k)，Bσ(k)，Cσ(k)，Dσ(k))；σ(k)∈M,k≥k0}是一族矩陣,其中 M={1,2,…,m0},且σ:Z≥k0→M是分段常值函數,稱為切換信號.

當σ(k)=i，i∈M時,對應于模式i的系統矩陣記為

其中 Ai，Bi，Ci，Di是常矩陣.關于切換信號 σ,我們有切換序列

其中k0=0,這意味著當k∈[kt,kt+1)時,第it個子系統被激活.

假設1[1]設非線性函數f和g滿足下面的扇形有界條件:

其中 Γ1，Γ2，Φ1，Φ2是適當維數的常值矩陣.

對于系統(1),我們考慮狀態反饋控制,其控制輸入為

其中Kσ(k)為需要設計控制增益矩陣.

由(1)和(2),我們可得到如下的切換閉環系統:

在本文中,我們對切換閉環系統(3)考慮保成本控制方法,并設成本函數為

其中U和W為正定矩陣.

定義1[11]考慮切換非線性時滯系統(1).若存在狀態反饋控制器u(k)和正常數J*使得閉環系統(3)是指數穩定的且成本函數J滿足J≤J*,則J*稱為保成本且u(k)稱為切換系統(1)的保成本控制器.

在討論上面的保成本控制問題之前,我們首先下面的定義.

定義2 系統(3)的平衡點x*=0是指數穩定的,若存在λ∈(0,1),?＞0,使得(3)的解 x(k)滿足

定義3[4]在區間[k0,k)上,切換信號σ的切換次數記為Nσ(k,k0).若存在 N0≥0 和 T0＞0 使得

則T0稱為平均駐留時間.為了簡便,這里取N0=0.

本文的目的是對系統(3)設計保成本控制器u(k),使得閉環系統(3)是指數穩定的且成本函數J存在上界J*.

2 主要結果

在這一小節,我們將通過構造模式依賴的Lyapunov泛函,并應用平均駐留時間技巧給出閉環系統(3)和成本函數(4)存在保成本控制器(2)的充分條件;然后,借助一組線性矩陣不等式的可行解表示控制增益矩陣.

為此,我們考慮下面的無切換的非線性時滯系統:

其中A=A+DK.

定理1 對給定的α∈(0,1)和增益矩陣K,若存在正定矩陣Q和R,使得下面的線性矩陣不等式成立

則系統(6)是指數穩定的.

證明 為了便于表示,我們記

對于系統(6),我們構造如下的Lyapunov泛函:

其中

下面,我們計算Lyapunov泛函(7)關于系統(6)的差分:

此外,由假設1可得

其中

于是,由(8)-(12)可得,

進一步,由條件Ψ＜0可知,

因此,當 k≥k0時,我們有

根據定義1,可知系統(6)是指數穩定的.證畢.

接下來,我們將在定理1的基礎上,通過構造模式依賴的Lyapunov泛函,并應用平均駐留時間技巧給出系統(1)存在保成本控制器的充分條件.

定理2 對給定的α∈(0,1),μ＞1和增益矩陣Ki,若存在一組正定矩陣Qi和Ri,使得下面不等式成立

則控制器(2)是系統(1)的保成本控制器,且成本函數有如下的上界

證明 構造模式依賴的Lyapunov泛函如下:

其中

當k∈[kt,kt+1)時,應用定理1及條件(16),我們得到,

因此,由定義1可知,閉環系統(3)是指數穩定的.

另一方面,當 k∈[kt,kt+1)時,

于是,我們得到

證畢.

定理2給出了系統(1)存在保成本控制器的充分條件及成本函數的上界.下面,我們將通過一組線性矩陣不等式的可行解表示出控制器的增益矩陣.

定理3 對給定的α∈(0,1),μ＞1,若存在一組正定矩陣Pi和Ri,使得下面不等式i∈M均成立.

則控制器u(k)=Kix(k)且Ki=XiPi-1是系統(1)的保成本控制器,且成本函數J有如下的上界

證明 現設Pi=Qi-1且Xi=KiPi,令Ξi=diag{PiI … I},則γi=ΞiTΩiΞi,其中

應用 Sucher Completement定理,可知 Ωi＜0等價于Ψi＜0,于是,由定理 2 可知結論成立.證畢.

3 結論

在這篇文章中,我們針對一類離散型切換系統探討了它的保成本控制問題,其中既考慮了離散時滯又考慮了非線性函數對保成本控制問題的影響.我們通過構造模式依賴的Lyapunov泛函,并應用平均駐留時間技巧,給出了保成本控制器的充分條件,并給出了成本函數的上界.接著,借助一組線性矩陣不等式的可行解,我們表示了所需的保成本控制器的增益矩陣.