為什么正弦交流電的產生與線框形狀、轉軸無關

楊文皓

(成都市實驗外國語學校(西區)高2016級1班 610213)

從課本的推導談起，在選修3-2教科版P33有關于矩形線框正弦交流電產生的推導，筆者對此作了參考：

圖1

如圖1所示，將手搖發電機磁極間的磁場視為磁感應強度為B的勻強磁場，方向水平向右；線圈簡化為單匝矩形線框abcd，線框邊長分別為ab=L1，bc=L2.設線框abcd繞水平的中心軸OO′沿逆時針以角速度ω勻速轉動，線框中將產生怎樣的感應電動勢？

在線框勻速轉動的過程中，ab邊和cd邊要切割磁感線而產生感應電動勢，由于這兩邊的運動速度始終是大小相等而方向相反，所以兩邊產生的感應電動勢大小相等.回路abcd中總的感應電動勢e=2eab.現在我們研究ab邊切割磁感線產生的感應電動勢.

圖2

如圖2所示，經過時間t，ab邊繞軸OO′轉過的角度θ=ωt，此時v的方向如圖所示，v與磁場方向垂直的分量v2=vsinθ=vsinωt.根據電磁感應定律，在ab邊產生的感應電動勢的大小eab=BL1vsinωt而v=ω·L2/2

由此可得e=2eab=BL1L2ωsinωt

取任意位置初相為φ0，則e=BSωsin(ωt+φ0)由此表達式可看出，矩形線框正弦交流電的感應電動勢e只與線框的大小(面積)有關，與線框的形狀、轉軸無關.

圖3

拓展1 仍然采用矩形線框，若改變轉軸的位置，相當于改變了切割的形狀，那么是否還會產生同樣的正弦交流電呢？如圖3.

(其中虛線為轉軸)取對角線為轉軸(轉軸對角線垂直于磁場)由于是對稱結構，則此時兩邊產生的感應電動勢大小相等，選取線框一半(一個三角形)分析：

通過微元法的思想，把三角形分成無數個極小的小矩形，分析每個小矩形的切割情況，再將所求每個部分的電動勢進行求和，得到總電動勢設某個小矩形的長為m(相當于把對角線分割成長度為m的無數份)，寬為n

e小矩形=Bnvsinωt

v=ω·m

e小矩形=Bmnωsinωt=BS1ωsinωt

求和e半=∑e小矩形=Bωsinωt(S1+S2+…+Si)

面積之和

S1+S2+…+Si=S總=L1L2/2

由此可得

e=2e半=BL1L2ωsinωt

取任意位置初相為φ0，則

e=BSωsin(ωt+φ0)

仍然產生相同的感應電動勢

新視角：通過投影，從磁通量角度進行探究

線框平面在垂直磁場方向的投影：

S′=Scosθ=Scosωt

易知，無論形狀怎樣變化，只要面積不變，投影面積變化始終相同無論形狀、轉軸如何變化，總有：

對磁通量Φ求導即可得到感應電動勢的瞬時值

利用復合函數求導公式

Φ′=BSsinωt·ω

由此可得e=BSωsinωt

仍然產生正弦交流電.

如果線圈匝數為N，初相為φ0則感應電動勢為

e=NBSωsin(ωt+φ0)由此可見，對于任意形狀、任意轉軸，正弦交流電的產生只能與面積有關，與形狀、轉軸無關.

總結與反思：正弦交流電e=Emsinωt的產生是高中物理重點內容，本文從課本視角入手，分析切割磁感線的電動勢的產生及其大小，論證正弦交流電的產生與形狀、轉軸無關.隨后筆者提出了磁通量這一新視角，從磁通量變化與正弦交流電的關系進行論證，可以起到快速普適的效果.我們平時在物理學習中要善于分析，注意物理與數學的結合，善于利用數學武器解決物理問題，豐富自己的高中學習！