發揮數學題功效 提高學生思維能力

梁秋健

(江蘇省吳江高級中學 215200)

數學教學離不開解題，但是數學教學不能沉湎于題海，因此，教師在教學中應該精選習題，發揮每道試題的最大作用，以此減輕學生負擔.筆者在教學中，充分發揮數學題的功效，不僅可以引導學生跳出題海，而且還可提高學生的思維，提高教學效益.下面談談在教學中提高學生思維能力的幾種做法.

一、一題多解，提高學生思維的創造性

有時教師不太重視一題多解，這種做法對學生應試來說，沒有錯，但是確不利用學生思維能力進一步的發展，事實上，一題多解有利于提高學生探求精神、數學興趣和獨創性思維能力.

解法一從“角”入手

解法二從“名”入手

解法三從“形”入手

解法四從“冪”入手

解法1的復角化單角，解法2的同化正弦式，解法3的平方和關系，解法4降次擴角等，都是選擇恰當的途徑達到目的.因此在習題課教學過程中，可以在發揮學生個性、提高學生獨創性思維方面實現突破.

二、一題多變，提高學生思維的靈活性

通過一題多變，如變換已知條件、變換設問、變換解法等途徑，可增強學生思維的靈活性，提高解題本領.

例2 已知函數f(x)=x2-2x，x∈[-1,1]，求函數f(x)的最大值和最小值.

變式1 已知函數f(x)=a(x2-2x)，a≠0，x∈[-1,1]，求函數f(x)最大值和最小值.

變式2 已知函數f(x)=x2-2ax，a∈[-1,1]，x∈[-1,1]，求函數f(x)的最小值，用a表示.

變式3 已知函數f(x)=x2-2ax，x∈[-1,1]，求函數f(x)的最值,用a表示.

變式4 已知函數f(x)=ax2-2x，a≠0x∈[-1,1]，求函數f(x)的最小值，用a表示.

這個問題就比較難，結合在解決前四個問題的基礎上層層推進，學生會找到解決問題的方法，這樣的問題就像是小孩子在果園里摘蘋果一樣，跳一跳就會有更大的收獲.這樣必然會調動學生的學習興趣，使得新舊知識產生化學變化，得到更新的知識，解決更多的問題.

三、一題多問，提高學生思維的發散性

學生拿到一個問題能否及時準確切入，不僅取決于他們的知識儲備，更受限于他們思維的廣闊性，讓他們進行討論、交流，這樣可以啟迪思維，開拓解題思路.

(1)求f(x)與g(x)的值域；

(2)若?x1∈[0,1],?x2∈[0,1]，使得g(x2)=f(x1)成立，試求a的取值范圍.

分析值域可直接求，本題重在對符號語言的閱讀與理解，因此轉化成值域或最值處理的典型問題.

∴f(x)max=max{f(0),f(1)}=13，從而f(x)值域為[12,13].

g′(x)=3x2-3a2=3(x2-a2)≤0，∴g(x)在[0,1]上為減函數，

g(x)min=g(1)=-3a2-2a+17，g(x)max=g(0)=-2a+16.

∴g(x)的值域為[-3a2-2a+17,-2a+16].

當問題解決后，對該問題還可以進一步追問，如：

(1)若?x1∈[0,1],?x2∈[0,1]，使得g(x2)>f(x1)成立，試求a的取值范圍.

(2)若?x1,x2∈[0,1]，使得g(x2)>f(x1)成立，試求a的取值范圍.

(3)若?x∈[0,1]，使得g(x)>f(x)成立，試求a的取值范圍.

在教學中除了對上述的經典的高考題進行設問外，現行的蘇教版新課標教材中，有一部分例題的“思考”是把例題進行變式訓練的，如：蘇教版高中數學教材必修2第24頁到25頁上，在證明了等角定理“如果一個角的兩邊分別平行于另一個角的兩邊，并且方向相同，那么這兩個角相等”后，提出思考問題：“如果∠BAC和∠B1A1C1的邊AB∥A1B1,AC∥A1C1且邊AB,A1B1方向相同，而邊AC,A1C1方向相反，那么∠BAC和∠B1A1C1之間有何關系？為什么？”

教師在解題教學過程中，不能僅滿足于該題會解，要針對教學的重難點，精心設計有層次、有坡度、有廣度的問題，要讓學生通過一題多問，使思維的廣闊性得到不斷地發展.

四、正誤雙解，提高學生思維的批判性

美國教育學家波尼提出了培養學生批判性思維的技巧性策略，在教學中不妨有意識的在學生易犯錯的地方，進行正誤雙解.

例4 若二次函數f(x)的圖象關于y軸對稱，且1≤f(1)≤2,3≤f(2)≤4，求f(3)的取值范圍.

誤解∵f(1)=a+c,f(2)=4a+c，

∴1≤a+c≤2,3≤4a+c≤4，

在日常的教學中，要有意識的創造機會讓學生發現錯誤，或者要注意對課本、參考書和教師同學的解法進行反思加工，以此來提高批判思維能力.

總之，數學教師要善于發揮數學題的功效，以小見大，以少勝多，切實培養學生思維能力.除上文所述的方法之外，在解題教學中還應該重視特殊化與一般化思想的熏陶，提高學生思維敏捷性，這樣學生必能夠獲得解決問題一般方法的學習習慣和能力，實現思維升華.