數學思想在解三角形中的精彩綻放

蔣 敏 陳國林

(1.四川省南充龍門中學 637200；2.江西省贛南師范大學科技學院 341000)

一、分類討論思想在解三角形中的應用

例1 已知銳角三角形的邊長分別1,3,a，則a的取值范圍是

( ).

(3)當a=3時，顯然此時三角形為銳角三角形，所以選B.

評注由本題題意可知此三角形為銳角三角形，因此必須滿足最大邊對的角為銳角.因為a與3的大小不定，所以要分類討論.

變式訓練1 在△ABC中，若a2cosAsinB=b2sinAcosB，試判斷△ABC的形狀.

二、轉化與化歸思想在解三角形中的應用

評注本題綜合考查了正、余弦定理在轉化三角形的邊角過程中的作用以及三角變換公式.兩種解法詮釋了邊化角與角化邊的解題方法.邊化角常常會結合三角恒等變換公式求解；角化邊則需利用代數恒等變換求解.

三、函數與方程思想在解三角形中的應用

例3 已知腰長為a的等腰Rt△ABC中，當兩個銳角頂點A、B分別在x軸、y軸的正半軸上移動時(C與原點在AB的兩側)，求OC的最大值和△AOC面積的最大值.

評注有關最值、取值范圍問題常需要運用函數思

想去解決，一般需要通過觀察總結進而轉化為具體函數的值域和最值問題.