利用數學建模競賽促進數學建模課程教學改革的思路探索

葛新同

摘要：目前，參加國內外數學建模競賽的大學生已經是很大的群體，利用數學建模競賽，能夠開拓數學建模課程教學的思路和方法。本文通過對利用大學生數學建模競賽推動數學建模課程教學工作的改革和現狀闡述，探索有效開展數學建模的路徑，以此推動數學建模教學工作取得滿意的效果。

關鍵詞：數學模型 Matlab CT技術 量綱分析O141.4-4；

中圖分類號：G642 文獻標識碼：A 文章編號：1009-5349（2018）12-0016-02

一、背景介紹

人類漫長的進化過程中，不斷地認識世界和改造世界。從數學的角度來說，認識世界就是數學建模，改造世界就是優化即求極值。數學建模課程進入我國大學較晚，1987年，我國才有第一本數學建模教材，開設數學建模課程的高校自1993年開始至今從僅有幾所增加到幾十所，并向非數學專業推廣。1992年教育部高等教育司和中國工業與應用數學學會主辦了第一屆全國大學生數學建模競賽（簡稱國賽），得到了大學生的響應以及高校教師的支持。據不完全統計，現在全國每年有30個省市1000多所高校，2萬多隊參加國賽。在國賽的感召下，各省、市及許多高校紛紛組織競賽，很多高校學生自發成立數學建模協會，開展各種形式的活動。甚至，現在很多中學生也成立了數學建模協會，參加數學建模競賽。現在數學建模的形式有：一年一度的全國大學生數學建模競賽、美國大學生數學建模競賽（簡稱美賽）以及各地區及高校組織的數學建模競賽。正式出版的數學建模教材及參考書已達200多本。[1，2，3，4，5]數學建模進入高校20多年，已從星星之火發展為現在的燎原之勢。

由于大學生數學建模競賽越來越普及，參加的學生越來越多，范圍越來越大，參賽學生的專業、知識水平也有較大變化，數學建模教學內容及教學方法也發生了較大變革。

二、數學建模教學內容及方法的改革

數學建模課程通常分兩部分：理論課及實驗課。理論課采用數學模型教材，實驗課采用數學軟件教程（Matlab版本）。

數學模型，我們以高等教育出版社姜啟源、謝金星及葉俊版主編的《數學模型》為例，從第三版到第四版，保持了原教材的基本結構和風格，作了幾項較大的改動。[1]（1）刪去了一些明顯過時、不和時宜的案例，如錄像機計數器的用途、動物的身長與體重的關系、汽車的剎車距離以及廣告中的學問等8個案例。增加了一些實用性較強、具有時代特色、生活氣息濃烈的案例，例如：如何施救藥物中毒、光盤的數據容量、CT（計算機斷層成像，Computed Tomography的縮寫）技術的圖像重建、學生作弊現象的調查和估計以及進攻與撤退的抉擇、“一口價”的戰略等博弈模型。（2）改寫、合并、調整了很多案例及章節。其中有公平的席位分配、消費者的選擇、生產者的決策、人口的預測和控制、原子彈爆炸的能量估計等。例如，公平的席位分配，由第三版的初等模型第一節，調整到第四版的離散模型第四節。消費者的選擇，重寫了開頭，增加了兩個易于引起人們興趣的例題：例1征銷售稅還是征收入稅，例2價格補貼給生產者還是消費者以及兩段評注。這樣做使此模型可以推廣，進而用到實變函數論、拓撲學等數學工具，理論性更強，兩個例題又貼近人們的生活，讓人感覺到數學建模需要高深的理論，又能解決實際問題，激發學生的學習興趣。第三版的初等模型中的量綱分析（Dimensional Analysis）與無量綱化，調整到第四版的代數方程與差分方程模型中的原子彈爆炸的能量估計與量綱分析。第三版中的量綱分析與無量綱化，理論推導過多，而舉例單擺運動、航船的阻力及拋射問題，缺乏時代感，令年輕的大學生感到乏味，所以大多數高校都將此節作為閱讀內容。很多學生都感受到了知識的力量，知道掌握了知識，可以“管中窺豹”，以至于量綱分析模型不再是枯燥無味的，變得生動形象起來。由此可見選對案例的重要性，有些學生對模型不感興趣，不是模型的問題，而是案例太古老，脫離實際。第三版中的簡單優化模型中的最優價格調整為生產者的決策，從原來僅僅用微分法求出最優價格，改為介紹了四個模型：最大利潤模型、最優定價模型、投資費用一定下的產值最大模型、產值最大與費用最小的對偶關系。提高了理論深度、廣度，用到了運籌學的一些知識。第四版微分方程模型中的人口預測和控制與第三版相比，將第三版的如何預報人口增長合并到人口預測和控制模型，既有數據如1949—2010中國人口數據、1790—2000美國人口數據及1625—1999世界人口數據，又有模型詳細分類，如指數增長模型、阻滯增長模型—logistic模型、模型的參數估計、檢驗和預報及考慮年齡結構和生育模式的人口模型以及理論推導，這樣模型更完美。

數學軟件教程，我們以高等教育出版社趙靜、但琦等主編的教材《數學建模與數學實驗》為例，從第三版到第四版，作了較多改進[2]：（1）刪去了整數規劃、動態規劃、組合數學、匹配及覆蓋、最小費用流等內容；（2）增加了現在大學生數學建模競賽常用的統計分析、模糊綜合評判、四種人工智能算法（遺傳算法、模擬退火算法、蟻群算法及神經網絡算法）。（3）對有些保留的內容作了適當修改，更新了原來陳舊的建模案例，充實了案例，使教材內容更加豐富。

傳統的數學教學，教師靠粉筆和黑板傳授知識，學生靠紙和筆學習知識。而數學建模教學，不能以老師傳授知識為主，而應當以學生動手為主，考查實際問題，借助計算機，利用適當的數學軟件（主要是MATLAB）求解。

由于MATLAB軟件更新較快，過去很多利用MATLAB無法求解的問題，例如利用CNN（卷積神經網絡）解決人臉識別問題，現在已經可以解決，甚至可以編程在GPU上運行，加快了運行速度。有鑒于此，過去對數學軟件僅要求會編簡單的程序，現在對編程能力的要求大大提高了，不僅作圖、計算、數據分析這些基本要求要達到，還要求人工智能編程及尚未進入數學軟件教材的CNN及最優控制編程也要會。

三、我校數學建模教學的現狀

有人說只要寫入教科書就過時了，這句話雖然偏激，但是也有很多合理的成分。由于教材更新較慢，而現實世界變化太快，教師只有及時更換案例才能引起學生的興趣。雖然第四版有較大變化，但有些模型為了吸引學生的注意力，我們增加了案例。如代數方程與差分方程模型中的減肥計劃——節食與運動，我們增加了明星減肥的例子；概率模型中我們增加了官員貪污現象的調查和估計例子。第四版剛剛增加的模型，如光盤的數據容量，已經過時，我們將它刪去了。針對校園常見的現象——大學生戀愛現象，布置學生網上問卷調查，我們增加了大學生戀愛模型。針對近年來剛剛出現的白楊絮問題，讓學生查資料、實地考察阜陽市白楊樹的分布情況，提出了白楊絮治理模型。

以上這些改變，使大學生們感到數學建模課程離現實很近，既有趣又有用，不再乏味、枯燥，很少再有學生翹課，教師課前再也不需要點名。常常有其他學院的學生前來蹭課、提前占位的現象，數學建模課變成明星課，甚至數學建模教室變得與各個高校都有的圖書館、考研通宵教室及學生戀愛的小樹林一樣知名。

近5年來，我校學生參加國賽、美賽，取得了優異的成績。通過數學建模競賽，既鍛煉了學生，也提高了教師的數學建模教學能力，形成了一支精干的教練隊伍，他們成為數學建模課程教學的主力軍。

綜上所述，數學建模，作為一門理論與現實世界聯系最密切的數學課程，本應生動、活潑，具有鮮明的時代特征，帶有五彩斑斕的現實氣息。它的背景知識已經遠超一門課的范圍，正像生活的萬花筒，無所不包，我們要不斷地探索、改革，才能適應時代的要求。

數學建模具有魔力，只要接觸，一生再也不可能把它忘掉，它將成為我們對待人生的一種態度：人生就像數學建模，我們追求它的最終目的，更在意沿途的風景。（求解過程，即編程實現。）

參考文獻：

[1]姜啟源，謝金星，葉俊.數學模型（第四版）[M].高等教育出版社，2018.

[2]趙靜，但琦，嚴尚安，楊秀文.數學建模與數學實驗（第四版）[M].北京：高等教育出版社，2014.

[3]譚永基，俞文魮.數學模型[M].上海：復旦大學出版社，2003：9.

[4]邊馥萍，侯文華，梁馮珍.數學模型方法與算法（第四版）[M].北京：高等教育出版社，2005.

[5]朱道元.研究生數學建模精品案例[M].北京：科學出版社，2014.

責任編輯：楊國棟