多個Marshall-Olkin Fréchet分布總體參數在序約束下的極大似然估計

趙春雪，李樹有，宓 穎

(遼寧工業大學理學院，遼寧 錦州 121001)

1 預備知識

(1)

對應的概率密度函數為

(2)

設X1，X2，…，Xk是Marshall-Olkin Fréchet分布總體的一個樣本.結合已知的概率密度函數(2)，可以求得其似然函數為

(3)

因而其對數似然函數為

(4)

2 Marshall-Olkin Fréchet分布參數的極大似然估計

2.1 當已知β和δ時α的極大似然估計

考慮當參數β和δ已知而α未知時，α的極大似然估計.對公式(4)中的α求導得

(5)

令(5)式等于零，易知此方程為非線性方程，很難得到α的顯示解.利用Newton迭代法[5]，由下面迭代公式可以得到α的估計值：

(6)

文獻[6]給出了噴氣式飛機空調系統連續故障間隔時間.X代表飛機空調系統的連續故障間隔時間，分別為23，261，87，7，120，14，62，47，225，71，246，21，42，20，5，12，120，11，3，14，71，11，14，11，16，90，1，12，52，95.X服從Marshall-Olkin Fréchet分布.

2.2 當已知δ時α和β的極大似然估計

這里考慮參數δ已知而α和β未知時，α和β的極大似然估計.對公式(4)中的α和β分別求偏導，令其為零得到

(7)

令

則有：

(8)

(9)

(10)

(11)

由Newton迭代法，得到迭代公式

2.3 α，β和δ的極大似然估計

考慮參數α，β和δ未知時，α，β和δ的極大似然估計.對公式(4)中的α，β和δ分別求偏導，并令其為零得

令

由Newton迭代法，得到迭代公式

3 多個分布總體參數在序約束條件下的極大似然估計

表1 利用MATLAB軟件對參數已知的Marshall-Olkin Fréchet分布抽取的隨機數

3.1 簡單半序α1≤α2≤…≤α10

在簡單半序約束的情況下可得X1的故障率最高，X5，…，X8的故障率相同，X10的故障率最低.即保證每一批次空調系統的故障率都不高于上一批次空調系統的故障率.

3.2 簡單樹半序：α1≤αi(i=2，…，9，10)

在簡單樹半序約束的情況下可得X10的失效率最低，X1的失效率最高.即保證后生產的空調系統的失效率不高于第一批生產的空調系統失效率.

3.3 簡單環半序α1≤αi≤α10

在簡單樹半序約束的情況下可得X10的失效率最低，X1的失效率最高.即保證最后一批生產的空調系統的失效率最低，第一批生產的空調系統失效率最高.

3.4 傘型半序α1≤α2≤…≤α5≥…≥α10

當空調系統的故障率達到一定程度時，生產者的關注度不僅限于故障率，還需要考慮成本與環保等其他因素.成本的降低有可能導致故障率的升高，因此需要尋找最優解從而達到利益的最大化.此時考慮傘型半序的約束情況.

由傘型半序約束可得X1到X4的失效率逐漸降低，X5的失效率最低，繼續降低成本或考慮其他因素會導致故障率的升高，從而X5可以達到利益的最大化.