一個具退化強制和零階項的擬線性方程解的存在性

李仲慶，付 軍

(吉林師范大學數學學院，吉林 四平 136000)

1 問題的提出與主要結果

研究如下擬線性橢圓型方程的L∞正則性以及弱解的存在性：

(1)

其中Ω是RN中具有光滑邊界?Ω的有界域.假設當1

引理1如果函數φ：R+→R+非負不增并且滿足

其中k0非負，α>0并且β>1.那么

φ(k)=0，?k≥k0+d，

以下是本文的主要結果.

‖u‖L∞(Ω)≤C.

其中常數C僅依賴于γ，α，N，p，‖f‖Lm(Ω)，不依賴于u本身.

2 結果的證明

考慮問題(1)對應的逼近方程

(2)

證明主要采用De Giorgi迭代技術，關鍵在于得到迭代關系式.因為同時具有退化強制項和零階項，此時選取Gk(un)=un-Tk(un)是行不通的 (事實上，文獻[8]選取Gk(un)作為檢驗函數做最大模估計是限制0≤γ<1的情形)，所以最大的難點是選取新的合適的檢驗函數.

令k>0，定義

并選取H(un)作為方程(2)的一個檢驗函數 (這個檢驗函數受Boccardo和Brezis[9]啟發得到).記

Ak={x∈Ω：|un(x)|>k}，

則有

(3)

接下來估計(3)式的各積分項并且向迭代引理靠攏.

首先，關注左端項，

(4)

其次，運用文獻[9]中的不等式，有

(1+|un|)(γ-1)(p-1)-(1+k)(γ-1)(p-1)=
(1+|un|)[γ(p-1)-p+2]-1-(1+k)[γ(p-1)-p+2]-1≤

(5)

這樣就有

(6)

所以對(L2)有

(7)

(8)

(9)

對(9)的右端積分項運用H?lder不等式，

(10)

其中|A|表示集合A的Lebesgue測度.

運用Sobolev嵌入定理，

(11)

聯立(10)和(11)式可得

(12)

(13)

從而

根據迭代引理，

其中常數C僅依賴于γ，α，N，p，‖f‖Lm(Ω)，但不依賴于n.這樣就得到了un的一致L∞估計.

證明選取un作為方程(2)的一個檢驗函數，得到

利用條件(H1)與un的L∞有界性，去掉非負項可得

注意到

從而

(14)

(15)

(16)

(17)

存在ξ∈Lp′(Ω，RN)，使得

(18)

證明主要想法來源于文獻[12].在(2)式中選取un-u作為一個檢驗函數，則有

首先對主部擴散項A1做如下分解

根據假設條件(H1)，(17)式和Vitali定理，

結合(16)式可得A11=ω(n).

其次估計低階項.根據單調性和(14)式有

最后估計右端項.由fn在Lp′(Ω)中以及(17)式可得B1=ω(n).

綜合上述估計，條件(H1)和un的L∞估計，有

即