一類Block型李超代數的超導子

陳 丹，遠繼霞，唐孝敏

(黑龍江大學數學科學學院數學系，黑龍江 哈爾濱 150080)

為了簡化相對論的費米子與玻色子的統一理論，1974年Wess和Zumino提出了超對稱性，將普通時空滿足的Poincaré李代數擴充為超Poincaré代數.于是將有限個不同內部量子數的玻色子和費米子放在李超代數的一個不可約表示中，從而拉開了李超代數研究的序幕.[1-2]眾所周知，李代數與李超代數有著密切的關系，李超代數的偶部恰為一個李代數.李超代數是在李代數的基礎上發展起來的一個代數學分支.[3-4]李超代數分為特征零李超代數和特征p李超代數.關于特征零李超代數的研究，目前已取得了相當豐富的成果.李超代數的研究主要分三個方面：結構、分類和表示.關于李超代數的研究經歷了一系列的發展，特別是在單李超代數的結構和表示方面.

李超代數在Killing理論、特征零單李超代數的分類理論[5]、表示理論以及向量場李超代數理論等方面都有著系統的發展.李超代數與李代數的密切聯系及其在數學物理領域的重要作用，使李超代數及其相關課題的研究成為數學中較為活躍的領域之一[6-7].在李超代數領域里，特征0的代數閉域中存在著更多的有限維單李超代數和線性無限維單緊李超代數[8].由于李超代數的偶部是一個李代數，所以李超代數的研究方法常借鑒于李代數的研究方法.

近20年來，Block型李代數引起了越來越多學者的關注，并在結構理論和表示理論方面取得了一定的成就.Block型李代數可以通過滿足特定條件的代數對(A，D)來構造，而對Block型李超代數的研究尚未實現，因此對滿足特定條件的代數來構造Block型李超代數，進而研究其結構具有重要意義.

1 預備知識

[x，y]=-(-1)|x||y|[y，x]，x，y∈g，

(-1)|z||x|[x，[y，z]]+(-1)|x||y|[y，[z，x]]+(-1)|y||z|[z，[x，y]]=0，x，y，z∈g.

則稱g是C上的李超代數.

例1.1設SB(q)是復數域C上的一個代數，其基為{Lα，i，Gβ，j|α，β，i，j∈Z}，運算定義如下：

[Lα，i，Lβ，j]=(β(i+q)-α(j+q))Lα+β，i+j，

[Lα，i，Gβ，j]=(β(i+q)-α(j+q))Gα+β，i+j，

[Gα，i，Gβ，j]=2Lα+β，i+j.

易證，SB(q)為一個李超代數.

SB(q)α，i=span{Lα，i，Gα，i|i∈Z，α∈H*}.

設V和W是復數域上Z-階化向量空間且齊次分支個數有限，則V和W的Z-階化誘導為

其中

Homa(V，W)={f∈Hom(V，W)|f(Vb)?Wa+b，b∈Z}.

(1) (δx+ηy)v=δ(xv)+η(yv)，δ，η∈C，x，y∈g，v∈V；

(2)x(δv+ηw)v=δ(xv)+η(xw)，δ，η∈C，x∈g，v，w∈V；

(3) 若x∈gλ，v∈Vμ其中λ，μ∈Z2，則xv∈Vλ+μ；

(4) [x，y]v=x(yv)-(-1)|x||y|y(xv)，x，y∈hg(g)，v∈V.

則稱V是一個g-模.

設V和W均為g-模，并且非零階Z-階化的個數有限，則V和W的模結構誘導了如下Hom(V，W)的g-模結構：x·f(v)=x·(f(v))-(-1)|x||f|f(x，v)，?x∈g，v∈V.

定義1.3[9]設g是復數域上的一個超代數，V是一個g-模.D∈Hom(g，V)，若滿足

D(xy)=(-1)|D||x|x·D(y)-(-1)|D(x)||y|y·D(x)，

則稱D為一個g到V的超導子.當V=g時，稱D為g的一個超導子.

ad(g)?Der(g)，[D，ad(g)]=ad(Dg)，

則稱ad(g)為g的內超導子集合.集合Der(g)/ad(g)中的元素稱為外超導子.

定義1.4[10]商空間

H1(g)=Der(g)/ad(g)

被稱為g的系數在伴隨模上的一階上同調群.易證，一階上同調群是一個超代數，即

定義1.5[11]設H是作用在復向量空間V上的線性李超代數，φ是定義在H上的取復數值的函數.如果V中存在非零向量ξ，使得Aξ=φ(A)ξ對任意A∈H成立，則函數φ稱為H的一個權，ξ稱為H的對應于權φ的權向量.下文將零權記為θ.

定義1.6[11]設α∈H*且D∈Der(g)，若滿足D(gα)?gα，則稱D為零權導子.

3 超導子代數及其一階上同調群

引理3.1[12]設g是一個有限維Z-階化李超代數，V是一個g-模，則一個具有非零權的權導子φ∈Der(g，V)是內導子.特別地，當g=V時結論同樣成立.

證明設φ∈DerD(g，V)，D≠θ.則存在t∈T使得D(t)≠0.因此，對任意的x∈g，都有

d(t)φ(x)=(t·φ)(x)=t·(φ(x))-φ([t，x])=x·(φ(t)).

這說明φ(x)=x·(D(t)-1φ(t))，即φ是一個內導子.

上述引理表明研究超導子時除內導子以外，只需研究零權導子θ即可.

D(Lβ，j)=aβ，jGβ，i+j，D(Gβ，j)=bβ，jLβ，i+j，

(1)

其中β，j∈Z，aβ，j，bβ，j∈C.

引理3.2采取(1)式中的符號.對任意j∈Z，都有D(L0，j)=0.

證明用D分別作用在如下兩個等式：

引理3.3采取(1)式中的符號.對任意α，γ，j，k∈Z，都有aα，k=aα，j+k，bγ，k=bγ，j+k.

證明用D作用在等式

上，可得

由于a0，j=0，因此

也就是bγ，k=bγ，j+k.

引理3.4采取(1)式中的符號.對任意β，j∈Z，都有

證明用D作用在等式

[Lγ，j，Lfγ，k]=(fγ(j+q)-γ(k+q))L(f+1)γ，j+k

兩端，整理系數得faγ，j=afγ，j+k=afγ，j，因此aβ，j=βa1，0.

令D1：g→g是一個線性映射，其在g的基底上作用為

D1(Lβ，j)=0，D1(Gβ，j)=Lβ，i+j，β，i，j∈Z.

(2)

D(Lβ，j)=aβ，jLβ，i+j，D(Gβ，j)=bβ，jGβ，i+j，

(3)

其中aβ，j，bβ，j∈C，β，i，j∈Z.

引理3.5采取(3)式中的符號.對任意β≠0，且β，j∈Z，都有aβ，j=bβ，j.

證明用D分別作用在如下兩個等式兩端：

2bβ，jGβ，i+j+2b0，0Gβ，i+j=2aβ，jGβ，i+j.

故有

2bβ，j+2b0，0=2aβ，j.

這表明aβ，j=bβ，j.

引理3.6采取(3)式中的符號.則對β≠0及β，γ，j，k∈Z，都有aβ，j=βa1，0+ja0，1.

證明用D分別作用如下兩個等式兩端：

可得

令d1：g→g是一個線性映射，其在g的基底作用為

d1(Lβ，j)=0，d1(Gβ，j)=Gβ，i+j，β，i，j∈Z.

(4)

D′(Lβ，j)=0，D′(Gβ，j)=0.

由定理3.1和定理3.2可得如下結論：