左擬中插式Bernstein-Durrmeyer算子在Orlicz空間中同時逼近的強逆不等式

韓領兄，高會雙

(內蒙古民族大學數學學院，內蒙古 通遼 028043)

1 預備知識

N函數M(u)是冪函數|u|p(p>1)的推廣，而Orlicz空間是熟知的Lp(p>1)空間的推廣.

定義1.1[1]稱定義在(-∞，+∞)上的實值函數M(u)為N函數，如果其具有下列性質：

(1)M(u)為偶的連續凸函數，且M(0)=0；

(2) 當u>0時，M(u)>0；

對于給定的N函數M(u)，其余N函數記為N(v).

定義1.2[1]稱N函數M(u)滿足Δ2條件(簡記為M(u)∈Δ2)，是指存在k>0，u0>0，當u≥u0時，

M(2u)≤kM(u).

由N函數M(u)生成的Orlicz類LM[0，1]，是指滿足

的可測函數u(x)的全體.

有限的可測函數u(x)的全體.

其中

連續模ωr，φ(f，t)M與K-泛函Kr，φ(f，tr)M等價[2]，即存在常數k>0，使得

k-1ωr，φ(f，t)M≤Kr，φ(f，tr)M≤kωr，φ(f，t)M.

其中：

X=x(1-x)，(n)j=n(n-1)…(n+j-1)，

2 一些引理

引理2.1[4]對于j≥1，r∈N，有

(1)

(2)

(3)

(4)

(5)

‖G‖M≤C‖f‖M.

引理2.4[7]對于r，s∈N0=N∪{0}，有

證明由(3)式，

(6)

由H?lder不等式以及(1)，(4)—(5)式得

利用引理2.3，

(7)

結合(6)—(7)式可得引理結論.

引理2.7[6]對于n≥2r，有

證明對于x∈[0，1]，r，s∈N0，由引理2.4得

(8)

由(2)與(8)式，

(9)

(10)

由(9)—(10)式，引理得證.

引理2.10[6]對于f∈W2r+1(φ)，則

3 主要結果

(11)

當x∈En時，nφ2(x)≥1，從而：

…

(12)

由引理2.6，

(13)

結合(11)—(13)式，

(14)

下面估計不等式(14)中右端的第一個和最后一個式子.利用引理2.5得

(15)

由引理2.8與引理2.9，

(16)

結合(14)—(16)式，

(17)

‖φ2rg(2r)‖M，[0，1]≤C‖φ2rg(2r)‖M，En.

(18)

再由(17)—(18)式得

(19)

選取滿足l≥kn的充分大的k，使得

(20)

再由(19)—(20)式有

因此

由K-泛函與光滑模的等價性得

注當N函數M(u)=up(p>1)時，定理3.1即為文獻[5]中定理3.1的結論.