粒子群算法在渠道橫斷面優化設計中的應用

葉振威 于賢磊

（1.揚州大學水利與能源動力工程學院，江蘇 揚州 225009；2.南水北調東線江蘇水源有限責任公司徐州分公司,江蘇 徐州 221000）

現行的渠道橫斷面設計是用明渠均勻流公式，以試算法或圖解法進行計算，這些方法復雜、計算量大、精度低。粒子群算法與遺傳算法相類似，也是基于群體的優化算法，不要求函數連續或者顯式表達，具有很強的全局搜索能力，但它比遺傳算法簡單，易于使用，而且收斂速度也更快[1]。本文將粒子群算法與罰函數法相結合，解決非線性約束問題，并對渠道橫斷面設計進行優化計算。

1.粒子群算法設計

假設在一個D維搜索空間里有n個粒子組成的種群X=(X1,X2,…,Xn)，第i個粒子的位置為X=(Xi1,Xi2,…,XiD)；第i個粒子所經歷的最好的位置記為Pi=(Pi1,Pi2,…,PiD)，稱個體極值；群體中所有粒子經歷過的最好的位置記為Pg=(Pg1,Pg2,…,PgD)，稱群體極值[2]。PSO算法步驟如下：

步驟一：確定迭代次數k、種群規模X、搜索空間的維數D，在搜索空間中產生粒子的初始速度V和初始位置x。

步驟二：計算粒子適應度。

步驟三：將每個粒子當前適應度值與自身個體極值和群體極值進行比較，如果當前適應度值優于個體極值，則更新個體極值；如果當前適應度值又優于群體極值，則更新群體極值。

步驟四：更新粒子速度和位置，公式[3]如下：

式中：ω為慣性權重，ω取1；i=1,2,…,D；j=1,2,…,n；k為當前迭代次數；c1、c2為加速因子，取1；φ1、φ2為區間[0 1]之間的隨機數。

步驟五：迭代次數k=k+1，若滿足迭代次數或精度要求，則停止搜索，輸出結果，否則返回步驟二。

2.渠道橫斷面優化設計

2.1 目標函數及約束條件

渠道梯形斷面優化設計是根據明渠均勻流公式進行水力計算。明渠均勻流公式為：

由此可推得明渠均勻流公式為：

由此可得渠道橫斷面優化模型[4]為：

2.2 罰函數法及處理

目前，使用最廣泛的處理約束條件的方法是懲罰函數法，設法將約束問題轉化為無約束的問題求解。具體做法是，根據約束的特點，構造某種懲罰函數，然后，把它加到目標函數中去,將約束優化問題的求解轉化為無約束問題的求解。這種懲罰策略在無約束問題求解過程中，那些企圖違反約束的迭代點給予很大的目標函數值(對于極小化而言是一種懲罰)，迫使一系列無約束問題的極小點或者無限地靠近可行域，或者一直保持在可行域內移動，直至迭代點列收斂到原約束問題的極小點。罰函數處理的適應度函數公式[5]如下：

式中： F（ x）為原適應度函數；G（ x）為罰函數；D為x滿足約束條件的集合。

2.3 算例分析

例[6]：某灌區渠道采用梯形斷面，設計流量3.2m3/s，邊坡系數m=1.5，渠比降i=0.0005，渠床糙率系數n=0.025，渠道不沖流速該渠道為清水渠道，無防淤要求，為了防止長草，最小允許流速為0.4m/s。求該渠道過水斷面尺寸。

文獻[6]將免疫遺傳算法引入梯形渠道斷面優化設計，免疫遺傳算法具有較高的全局搜索能力，但其算法復雜，需要不斷編碼解碼，運行時間長。本文采用的粒子群算法，算法結構簡單，運行速度快，在非線性約束問題中要優于免疫遺傳算法。應用粒子群算法求解，迭代次數為1000，種群規模為20，變量b取離散值[1.0 1.5 2.0 2.5 3.0]，變量h取區間[0.0 5.0]。

粒子群算法求得最優解與文獻[6]所求最優解對比見表1。粒子群算法所得結果與文獻[6]中免疫遺傳算法所得解相近，精度高，完全滿足實際工程設計要求。粒子群算法程序在多次運行中，平均耗時0.6s，優于免疫遺傳算法。

表1 梯形渠道斷面優化設計表

3.結論

本文基于MATLAB平臺，應用粒子群算法與罰函數法相結合對渠道斷面進行優化設計，并與免疫遺傳算法計算結果比較，證明了粒子群算法在求解該問題上具有全局性好、收斂速度快、精度高等特點。粒子群算法具有較好的非線性極值尋優能力，為解決非線性約束問題提供了新思路。