基于非線性模型的深水隔水管橫向振動固有頻率分析

郝逸，王文明,*，李皓冉，龔普，熊明皓，顧繼俊

1 中國石油大學(北京)機械與儲運學院， 北京 102249

2 南京晨光集團有限責任公司地面設備設計研究所，南京 210006

0 引言

隔水管是海洋鉆修井作業的關鍵裝備，其長度長、柔度大，易發生振動。隨著作業深度增加，海洋載荷復雜多變，隔水管動力響應十分復雜，嚴重時會發生共振導致作業事故[1-2]，造成巨大的經濟損失，甚至對作業人員生命安全和海洋環境造成威脅。隨著國家深水戰略的提出，對千米級隔水管作業要求愈發嚴格。因此，對隔水管固有特性開展研究十分重要[3-6]。

國內外學者對隔水管固有頻率進行了大量理論和實驗研究。Sparks C P[7]研究了隔水管橫向模態振動的物理特性，提出了固有頻率、節點和反節點位置、底部球絞的最大轉角和隔水管最大彎曲位置的簡化公式；劉清友等分析了鉆井液的流速、頂張力和隔水管結構參數等對固有頻率的影響[8]；暢元江等[9]基于能量守恒定律提出了隔水管固有頻率的簡化計算公式，其計算結果與相關文獻[10]計算結果比較吻合；郭海燕等[11]利用有限元方法研究了內部流體流速和頂張力對隔水管固有頻率的影響，結果表明內部流體流速越大，固有頻率越小；韓春節等[12]采用微元法得到了隔水管數學模型，并利用分離變量法求解；邵衛東等[13]考慮浮體升沉及張緊環運動，提出了計算深水頂張力立管固有頻率的方法。以上對隔水管固有頻率的研究，忽略了隔水管軸向力沿長度的變化，主要利用有限元軟件或者通過實驗確定隔水管的固有頻率。

論文采用微元法建立了隔水管橫向振動力學模型，考慮軸向力變化，通過施加不同頻率的外界激勵引起隔水管系統共振，從而獲得隔水管系統固有頻率，利用有限差分法求解了隔水管非線性模型。基于隔水管非線性振動模型，分析了隔水管的管長、壁厚、頂部張力、附加質量和鉆井液對隔水管固有頻率的影響。

1 隔水管力學模型的建立

1.1 隔水管系統模型

隔水管系統建立力學模型，如圖1所示。以海底井口正上方的海平面為坐標原點o，z軸正方向指向海底，海洋載荷沿著x軸作用在隔水管上，隔水管上端通過上撓性接頭與海上平臺連接，隔水管下端通過下撓性接頭連接在海底井口防噴器組。由于海洋載荷(海流、海浪等)的作用，平臺一般小范圍偏離井口正上方，從而引起隔水管彎曲變形。隔水管受力復雜，在建立隔水管數學模型之前做如下兩點假設：

(1)隔水管振動屬于小變形問題；(2)隔水管是由均質、各向同性、線彈性材料制成的，管徑一致，抗彎剛度沿水深不變。

1.2 隔水管微元受力分析

將隔水管劃分為n段微元，取任一微元段ds做受力分析如圖2所示。其中，隔水管單位長度受到的浮重為Fw、彎矩為M、軸向力Frt、剪力Frs、海洋載荷Fws和慣性力。

圖1 隔水管系統模型Fig. 1 The riser model

圖2 隔水管微元受力分析Fig. 2 Analysis of riser microelement

對x方向受力分析：

對z方向受力分析：

對A點取矩：

式中：Frt為隔水管微元段所受軸向力，N；Frs為隔水管微元段所受剪切力，N；m=mr+ma+ml，分別表示單位長度隔水管的重量、單位長度附加水質量和單位長度鉆井液的質量；M是隔水管微元段所受彎矩，N·m；Fw是單位長度隔水管的浮重，N；Fws為單位長度隔水管所受海洋載荷，N；Rρ為隔水管微元段的曲率半徑；θ是微元段橫截面法線與z軸的夾角；是微元段橫截面法線與z軸的夾角的變化量。

假設隔水管為等截面梁，則有：

式中：E為材料的彈性模量，Pa；I為截面慣性矩，m4。

將式(5)帶入式(4)可得：

式(6)為剪力和彎矩關系，帶入式(4)得隔水管橫向振動控制方程：

式(7)中已知量有：抗彎剛度EI，軸向力Frt，單位長度質量m，海洋載荷Fws，單位長度浮重Fw，任意一點的海洋深度z，未知量為x和Frt。

根據實際工況，隔水管的頂端和底端為鉸接，則隔水管的轉動剛度為0，下端位移為0，上端位移為常數，可得邊界條件如式(8)所示。

其中：S為平臺相對井口的水平偏移量，m。

對隔水管橫向振動的研究都是基于對(7)式的求解，然而方程高度非線性，無法直接表示軸向力Frt。國外內研究通常假設隔水管軸向力沿著海洋深度不變或者線性變化，本文探討采用非線性模型對該問題進行求解。

2 非線性模型求解

2.1 假設模型

(1)線性模型：認為軸向力Frt為恒定不變，隔水管任意位置的軸向力為整段隔水管浮重的1.2～1.6倍。頂張力系數取1.2，因此隔水管橫向振動控制方程變為下式：

其中：H為海洋深度。

(2)非線性模型：考慮隔水管質量，認為軸向力Frt隨海洋深度線性變化，隔水管頂部張緊力為整段隔水管浮重的1.2～1.6倍。因此隔水管橫向振動控制方程變為式(10)：

其中：F0為隔水管頂部張緊力，頂張力系數取1.2。

非線性模型的頂張力系數取1.2，故軸向力為：F（rtz , t） = 1 .2HFw- Fwz ， 帶 入 橫 向 振 動 方 程 式 得 式(11)。

式(11)為非線性偏微分方程，需采用數值解法求解。為求得固有頻率，假設對隔水管在沿管長方向均勻施加外部激勵Fws(z, t) = fwsei?t，選取不同的激勵頻率，當隔水管的固有頻率和外部激勵頻率相近時，就會發生共振，幅值會無限大，確定隔水管的固有頻率[13]。

假 設 立 管 的 穩 態 振 動 形 態 為x( z, t) = x?( z, ? )ei?t，將外部激勵和振動形態帶入式(11)將偏微分轉化為常微分得：

用中心差分公式代替微分[14]，帶入式(12)，得到離散化方程，如式(13)，其中i=1,2,3…n。

上式一共有n個方程，但是有x-1～xn+2共n+4個未知數，為此引入4個邊界條件，并對邊界條件進行差分[15]，得4個附加方程：

其中：S為浮體偏移，m。

式(13)與式(14)聯合得到大型帶狀方程，利用Matlab軟件編程求解。

2.2 算例

假設作業水深為1000 m，隔水管計算參數如表1所示。

非線性模型的固有頻率通過共振法求解，通過對系統施加不同頻率的外部激勵，引發系統共振，間接求得固有頻率。對整個隔水管施加0～2 rad/s的激勵，隔水管在水下300 m、500 m和800 m 3個位置的位移如圖3所示。

圖3橫軸代表外界載荷激勵頻率的變化，縱軸表示振動位移。在圖3中，隔水管在300 m、500 m和800 m的位移都在特定激勵頻率作用下同時達到無限大，這些特定激勵頻率引起了隔水管的共振，由圖3可得非線性模型前十階固有頻率如表2所示。

2.3 非線性模型求解精度分析

為了驗證非線性模型求解結果的準確性，利用有限元分析軟件ABAQUS提取隔水管前十階固有頻率，其中隔水管選取B21梁單元，劃分為1000個單元，隔水管底部x、z方向和頂部x方向固定[18]，施加重力、浮力和頂張力，在頻率提取分析步考慮附加質量，計算結果匯總在表3中。

為了對比非線性模型求解精度，與已有參考文獻的求解結果公式進行對比。文獻[16]給出固有頻率計算簡化公式如下，其前十階計算結果見表3，

其中：Tl是隔水管頂端張緊力，N；Tb是隔水管底端張緊力，N。

文獻[8]給出固有頻率的簡化計算公式如下，相比式(16)，考慮了抗彎剛度的影響，其前十階計算結果見表3，

線性模型利用分離變量法即可求解[12]，其前十階計算結果如表3所示。

采用不同計算方法得到的固有頻率如圖4所示。可以看出，非線性模型求解的固有頻率整體小于線性模型，并且隨著階數升高，線性模型和非線性模型的差距越來越大。線性模型和非線性模型的一階頻率差0.060 rad/s，十階頻率差0.498 rad/s。原因在于線性模型假設隔水管各個位置軸向力為常數，沒有考慮重力對軸向力的影響。

表1 算例參數Table 1 Examples parameters

圖3 不同位置的位移圖Fig. 3 Displacement in different positions

表2 非線性模型前十階固有頻率Table 2 The natural frequency of nonlinear model

表3 有限元仿真、線性模型、文獻[16]、文獻[8]計算的前十階固有頻率Table 3 natural frequency by different methods

非線性模型與仿真結果相比，頻率差值很小，雖然隨著階數升高，兩者頻率差逐漸增大，但十階頻率的差值也只有0.0147 rad/s，證明非線性模型計算結果準確性較高。

非線性模型與文獻[16]在低階固有頻率的結果比較接近，一階頻率差只有0.0009 rad/s。但隨著階數升高，差值明顯增大，十階頻率相差達到0.1802 rad/s。非線性模型與文獻[8]的差值較小，十階頻率相差為0.0506 rad/s，可以看出非線性模型的求解精度更高。

綜上可知，非線性模型考慮軸向力的變化，符合實際作業情況，結果對比分析也證明，非線性模型準確性較高。對隔水管的振動分析，應優先采用非線性模型。

3 隔水管固有頻率的影響因素

影響隔水管固有頻率的因素有外在因素和內在因素，外在因素主要是頂部張力、附加質量和鉆井液；內在因素主要是管長和壁厚。論文在探究各因素對隔水管固有頻率影響時，均以非線性模型進行計算。

3.1 頂張力對固有頻率的影響

隔水管的長度、直徑、壁厚和鉆井液等因素假設不變，分析頂張力對固有頻率的影響。隔水管頂部張力會影響隔水管的剛度，從而對固有頻率產生較大影響。隔水管頂部張力一般為浮重的1.2～1.6倍，取浮重的1.2倍、1.4倍和1.6倍進行分析，計算結果如圖5所示。

由圖5可以看出，隨著頂張力增大，隔水管各階固有頻率整體增大。針對海洋環境的復雜多變性，可通過調整隔水管頂部張緊力的大小改變系統特性[17]。

3.2 附加質量對固有頻率的影響

圖4 采用不同計算方法得到固有頻率Fig. 4 Using different methods to get the natural frequency

圖5 頂部張力對固有頻率的影響Fig. 5 The effect of top tension on natural frequency

海洋載荷會迫使隔水管振動，對管柱周圍的流體做功，使管柱周圍流體速度發生變化。計算時一般將其等效為附加質量，單位長度附加質量如式(18)所示。

式中：Cm為附加質量系數，取1；D為隔水管外徑，m；ρw為海水密度，kg/m3。

假設隔水管的長度、直徑、壁厚、鉆井液和頂部張緊力等因素不變，分析附加質量對固有頻率的影響，計算結果如圖6所示。

由圖6可以看出。模型考慮海水作用時計算的頻率要比不考慮海水作用的整體偏低，并且隨著階數升高其頻率差值呈增大趨勢，十階頻率的數值相差最大為 0.351 rad/s。因此，計算時必須考慮由水動力引起的附加質量。

3.3 鉆井液對固有頻率的影響

隔水管作業時內部會充滿鉆井液，選取鉆井液密度為 800 kg/m3、1000 kg/m3、1200 kg/m3和不考慮鉆井液4種情況。計算時不考慮鉆井液的流動，假設隔水管的長度、直徑、壁厚和頂部張緊力等因素不變，計算結果如圖7所示。

由圖7可以看出，與不考慮鉆井液相比，考慮鉆井液計算得到的固有頻率明顯偏大，但隨鉆井液密度增大，隔水管固有頻率僅略微升高。對比不考慮鉆井液與隔水管內部充滿1000 kg/m3的鉆井液，其十階頻率相差達0.7346 rad/s。因此，計算時需考慮鉆井液的影響。

3.4 隔水管管長對固有頻率的影響

假設隔水管直徑、壁厚、內部鉆井液和頂部張緊力等因素不變，選取1000 m、1200 m和1500 m 3種管長。隔水管管長越長，隔水管柔度越大，計算結果如圖8所示。

由圖8可得，隨著管長增大，隔水管頻率整體降低，雖然在前三階變化并不明顯。但隨著階數升高，頻率相差越來越大，長度1000 m 和1500 m隔水管的十階頻率相差達到0.469 rad/s。

3.5 隔水管壁厚對固有頻率的影響

從式(19)中可以看出，隔水管壁厚增加，會使得隔水管的截面慣性矩增大，從而影響結構的抗彎剛度，

式中：D為隔水管外徑，m，d為隔水管內徑，m。

為了探究壁厚對固有頻率的影響，選取25.4 mm、31.8 mm和50.8 mm 3種壁厚，假設隔水管長度、直徑、內部鉆井液和頂張力等因素不變，計算結果如圖9所示。

由圖9可得，壁厚越大，各階固有頻率越高。雖然在前幾階變化不顯著，但隨著階數升高，頻率差值明顯增大。壁厚25.4 mm和50.8 mm的隔水管在九階頻率差為0.247 rad/s。

圖6 附加質量對固有頻率的影響Fig. 6 The effect of additional mass on natural frequency

圖7 鉆井液對固有頻率的影響Fig. 7 The effect of drilling fluid on natural frequency

圖8 管長對固有頻率的影響Fig. 8 The effect of pipe length on natural frequency

4 結論

通過以上分析，得到的結論如下：

(1)利用微元法構建了隔水管橫向振動控制方程，假設隔水管軸向力沿著深度方向線性變化，得到了非線性模型，能夠較真實地簡化實際工況。

圖9 壁厚對固有頻率的影響Fig. 9 The effect of wall thickness on natural frequency

(2)利用共振法求解得到了隔水管的各階固有頻率，與有限元仿真結果、參考文獻結果、線性模型結果進行對比，驗證了非線性模型的準確性。

(3)分析了隔水管管長、壁厚、頂部張力、鉆井液和附加質量對固有頻率的影響。隨著隔水管壁厚和頂部張力增加，隔水管固有頻率增高；隨著隔水管管長增大，隔水管固有頻率降低；固有頻率計算時需考慮附加質量和鉆井液的影響，但鉆井液密度大小對固有頻率影響較小。