一類非局部非自治分數階時滯微分系統的穩定性

郝瑞雪，魏毅強

(太原理工大學 數學學院，太原 030024)

ZHANG et al[1]在2007年研究了下列非線性非自治Riemann-Liouville型分數階時滯系統(1)

式中：0<α<1，φ(t)是[-r,0)的連續函數，A0，A1是常數矩陣；r是正常數。該文獻主要研究系統(1)解的存在唯一性，并且運用廣義Gronwall不等式推論證明該系統具有有限時間穩定性。但該文在有限時間穩定性的概念定義上，以及證明過程中都存在較嚴重的問題。

MIHAILO et al[2]在2008年糾正了文獻[1]的錯誤，研究了線性自治分數階時滯微分系統與帶有控制變量的非自治系統具有有限時間穩定性。

EL-SAYED et al[3]在2009年將問題推廣到變系數的情形，研究了下列線性非自治Riemann-Liouville型分數階時滯系統(2)：

(2)

使得解的存在唯一性的證明得以完成。

WANG et al[4]在2015年研究了下列非自治非線性Caputo型分數階時滯微分系統(3)在非局部初值條件下解的存在唯一性

(3)

式中：0<α<1；A0，A1是常數矩陣。文中有關時滯項的處理方式及Gronwall不等式的靈活應用對同類型問題的研究有可借鑒之處。

本文在前人研究的基礎上，將問題推廣到下列非局部非自治Riemann-Liouville型分數階時滯微分系統(4)：

(4)

1 預備知識

定義1[5]設函數x∈L[a,b],ρ∈R+,記

定義2[5]設函數x∈L[a,b],ρ∈R+,m=[ρ]+1,記

稱為x(t)的ρ階Riemann-Liouville型導數。

引理1[5]ρ∈R+,m=[ρ]+1,υ∈C1[0,1],u∈Cm[0,1],Im-ρu∈Am[0,1],則有

1) ?r,s>0,則IrIsυ(t)=Ir+sυ(t).

2)DρIρυ(t)=υ(t).

u(0).

引理2[6](廣義Gronwall不等式)假設g(t)是非負非減的連續函數,0≤t0,a(t),u(t)是[0,T)的非負局部可積函數且

則有

定義3[5]設n>0,記

稱為n階Mittag-Leffler函數。特別地,E1(z)=ez.

定義4[7]齊次方程

滿足初始條件x(t)=ψ(t),-τ≤t≤0,關于[δ,ε,t0,J],δ<ε是有限時間穩定的當且僅當

‖ψ‖<δ.

那么

‖x‖<ε.

其中t0是初始時間,J=[t0,t0+T],J?R.

把有限時間穩定性的概念推廣到非線性系統中，定義如下。

定義5 設?i,t>0,fi(t,0,0,L,0)=0,稱非線性非自治時滯系統(4)是有限時間穩定的,當且僅當‖Φ‖<δ,且‖f‖<α,則有‖x‖<ε.

為了討論方便,引出幾個今后使用的條件：

2 主要結論

定理1 在H1的假設條件下，在C[-r,T]空間內系統(4)與下列系統(5)等價。其中C[-r,T]空間表示[-r,T]上的連續空間。

(5)

證明：當t∈(0,T]時,系統(4)的第一個式子由Riemann-Liouville型導數的定義可得：

對等號兩邊同時積分并由系統(4)中的條件I(1-ρ)xi(t)|t=0=0可得：

對等號兩邊求ρ階積分得:

對等號兩邊再求一階導數即得:

反過來,對系統(5)中的第一個式子等號兩邊先求(1-ρ)階積分,再求一階導數可得：

化解即得:

當t∈(-r,0]時,很顯然是恒成立的。

則有

…,xn(t))]|=0.而

即：

定理2 在H1,H2的假設條件下,如果?β>1,使得

證明：由定理1可知，只要證明系統(5)解的存在唯一性即可。

當t∈[-r,0]時,很顯然其解是存在且唯一的。

由于對任意i=1，2，...，10，j=1，2，3，4，y=1，Ey（288））+SD（DEy（288）D（288））＜0.2，因此，群決策矩陣D（288）=（）10×4是全局一致性可接受的決策矩陣，表10所示。

當t∈(0,T]時,定義映射F:C[-r,T]aC[-r,T],則有

先來討論t∈(r,T].

即：

‖bij‖Lβ[0,T]+‖lij‖Lβ[0,T]]‖x-y‖≤

R1‖x-y‖ .

同理,當t∈(0,r]時,有

R1‖x-y‖ .

由于R1<1,所以F是壓縮映射,即存在唯一的不動點。因此在C[-r,T]空間內系統(4)存在唯一的解。

定理3 在H1,H2的假設條件下,

取充分大的N,使得

證明：由定理1可知，只要證明系統(T)解的存在唯一性即可。

當t∈(-r,0]時,很顯然其解是存在且唯一的。

x

j

(

t

-

r

j

)+

f

i

(

t

,

x

1

(

t

),

x

2

(

t

),…,

x

n

(

t

))] .

為了討論方便,引出幾個今后使用的符號：

先來討論t∈(r,T].

(s-rj)-yj(s-rj))+(fi(s,x1(s),x2(s),…,

xn(s))-fi(s,y1(s),ys(s),…,yn(s)))]ds|≤

則：

‖x-y‖λ.

即：

R2‖x-y‖λ.

同理, 當t∈(0,r)時,

由于R2<1,所以F是壓縮映射,即存在唯一的不動點。因此在C[-r,T]空間內系統(4)存在唯一的解。

定理4 在定理3的假設條件下,若對于?i,t>0,fi(t,0,0,K,0)=0,‖f‖<α,‖Φ‖<δ,且

成立,則在C[-r,T]空間內范數

的意義下系統(4)具有有限時間穩定性。

證明：設x(t)=(x1(t),x2(t),…,xn(t))是系統(4)的解。

當t∈[r,T]時,

x2(s),…,xn(s))|ds.

從而

對上式分析可知,滿足運用廣義Gronwall不等式的條件,因此運用廣義Gronwall不等式可得:

從而

{Eρ[(‖A‖+‖B‖)Tρ]-1} .

則

那么

{Eρ[(‖A‖+‖B‖)Tρ]-1}<ε.

當t∈(0,r]時,同理可得，‖x‖<ε.

由此可知,系統(4)具有有限時間穩定性。