全等三角形常見錯題剖析

蔡大雙

一、忽略“對應(yīng)”

1.文字表述與數(shù)學(xué)語言有區(qū)別.

【例1】如圖1，在 ABC中，∠C=90°，AC=10，BC=6，一條線段PQ=AB，P、Q兩點(diǎn)分別在AC和過點(diǎn)A且垂直于AC的射線AX上運(yùn)動，問AP=_______時，才能使△ABC和△APQ全等.

圖1

【錯解】∵△ABC與△APQ全等，

∴BC=PA（全等三角形性質(zhì)），

∴PA=6.

【錯因剖析】這種錯誤在于忽略了兩個三角形全等時“對應(yīng)的多樣性”.在△ABC和△APQ中，直角邊PA既可以與BC是對應(yīng)邊，也可以與CA是對應(yīng)邊，因此答案不唯一.

【訂正】第一種情況：BC與PA是對應(yīng)邊，答案是BC=PA=6；

第二種情況：PA與CA是對應(yīng)邊，答案是PA=CA=10.

注：如果題目問的是AP=______時，△ABC≌△QPA，則答案唯一，此時兩三角形的對應(yīng)邊已經(jīng)確定，AP=CB=6.

2.運(yùn)用“AAS”時，S不“對應(yīng)”.

【例2】如圖2，在△DBC 中，∠DBC=90°，在△AEC中，∠ACE=90°，AE垂直DC交DC于點(diǎn)F,且AC=BC,請說明AE=CD.

圖2

【錯解】在△DBC中，∠D+∠DCB=90°，

在Rt△AEC中，∠ACE=90°=∠ACD+∠DCB，

∴∠D=∠ACD（等式的基本性質(zhì)）.

在△DBC與△CFA中，

在Rt△ACE中，直角邊AC＜斜邊AE，所以AE≠CD.

【錯因剖析】上述過程錯誤的原因是，在用“AAS”證明全等時，選擇的邊AC是∠AFC的對邊，邊BC是∠D的對邊，因此對應(yīng)關(guān)系出現(xiàn)了問題，所以證明出的結(jié)果是錯誤的.

二、錯用等式基本性質(zhì)

【例3】如圖，∠1=∠2，∠A=∠B，證明：AE=BE.

圖3

【錯因剖析】這種錯誤主要是在證明兩個三角形全等過程中錯用了等式的基本性質(zhì)一：等式兩邊同加（同減）同一個數(shù)（式子），等式仍然成立.將兩個全等三角形同時減去相同的部分，并不能說明剩余部分的三角形全等，只能說明它們面積相等.

【訂正】在△ADC與△BCD中，