巧避誤區(qū)，玩轉(zhuǎn)全等三角形

馮文軒

“全等三角形”是研究平面圖形的重要工具，在三角形知識鏈中有承前啟后的作用，學(xué)好這一知識也有利于同學(xué)們幾何推理證明能力的提升.同學(xué)們在初接觸這一知識時，由于對相關(guān)概念和性質(zhì)的理解還不夠成熟，會出現(xiàn)一些錯誤.現(xiàn)列舉幾種常見的錯誤并做分析，以幫助同學(xué)們更好地學(xué)習(xí)這部分內(nèi)容.

【例1】根據(jù)下列條件，畫出的△ABC的形狀和大小確定的是（ ）.

A.AB=2，AC=4，BC=6

B.AB=3，AC=2，∠B=30°

C.∠A=40°，∠B=60°，AB=3

D.∠C=90°，AB=6

【錯誤解答】A或B.

【錯因分析】選A的同學(xué)誤認(rèn)為三邊確定，以判定三角形全等的定理“SSS”認(rèn)為此三角形是確定的.但是，我們忽略了構(gòu)成三角形的前提條件：三角形任意兩邊之和大于第三邊.在這里AB+AC=6，因此AB+AC=BC，三邊無法構(gòu)成三角形.

再來看B選項(xiàng)，已知兩邊和一角，這里∠B是邊AC所對的角.有同學(xué)認(rèn)為可以根據(jù)判定方法“SAS”確定三角形.但是，“SAS”的條件是要兩邊及其夾角對應(yīng)相等，夾角應(yīng)為∠A，而題中∠B不符合要求.B答案列出的條件可以表述為“邊邊角”，也就是“SSA”，很多同學(xué)誤以為“SSA”能判定三角形全等.而事實(shí)上，“SSA”是不可以作為判定全等的依據(jù)的，此為常考的易混淆知識點(diǎn).

【正確解答】C.兩角及其夾邊相等，根據(jù)判定法則“ASA”，可以說明△ABC的形狀和大小是確定的.

【例2】已知△ABC和△DEF全等，且∠B=∠C，若∠A=70°，則∠D 的度數(shù)是__________.

【錯誤解答】因?yàn)椤鰽BC≌△DEF，所以∠D=∠A=70°.

【錯因分析】三角形的對應(yīng)關(guān)系不確定，全等的對應(yīng)關(guān)系有多種可能.

【正確解答】在△ABC中，因?yàn)椤螧=∠C，所 以（180°-70°）=55°，①若點(diǎn)D與點(diǎn)A對應(yīng)，則∠D=∠A=70°；②若點(diǎn)D與點(diǎn)B對應(yīng)，則∠D=∠B=55°；③若點(diǎn)D與點(diǎn)C對應(yīng)，則∠D=∠C=55°.所以∠D的度數(shù)是70°或55°.

【例3】已知△ABC和△A′B′C′，AB=A′B′，AC=A′C′，如 AD、A′D′分別是BC、B′C′邊上的高，且AD=A′D′.△ABC和△A′B′C′是否全等？如果全等，說明理由.如果不全等，給出反例.

【錯誤解答】全等.

圖2

如圖2，在Rt△ABD和Rt△A′B′D′中，

易得Rt△ABD≌Rt△A′B′D′（HL），

所以BD=B′D′，

同理可證CD=C′D′，

所以BD+CD=B′D′+C′D′，即BC=B′C′.結(jié)合已知條件AB=A′B′，AC=A′C′，可得△ABC≌△A′B′C′（SSS）.

【正確解答】不一定全等，反例如圖3所示，雖然BD=B′D′，CD=C′D′，但BC≠B′C′.

圖3

【錯因分析】原題未給出圖形，畫圖時未注意可能出現(xiàn)的多種情況.三角形的高可能在三角形外.當(dāng)這兩個三角形都是銳角或鈍角三角形時全等；若一個是銳角三角形，一個是鈍角三角形就不會全等.