巧用數軸解決行程問題

◎江南大學附屬實驗中學七（2）班 陳伯卿

第一次接觸數軸，知道了數軸的三個要素：原點、正方向和單位長度；明白了數軸上的點與數的關系.有些題目只要畫出數軸就一目了然，這種解題方法就是數形結合.

問題1已知數軸上有順次三點A、B、C.其中A點坐標為-20，C點坐標為40，一只電子螞蟻甲從C點出發，以每秒2個單位的速度向左移動.

（1）當電子螞蟻甲走到BC的中點D處時，它離A、B兩處的距離之和是多少？

（2）這只電子螞蟻甲由D點走到BA的中點E處時，需要幾秒鐘？

初讀這個題目我覺得非常復雜，螞蟻的移動方向是向左，又有線段的中點，腦袋都快炸了.但是我畫完數軸仔細一分析，這不就是一個行程問題嘛！放在數軸的問題背景下，無非就是增加了一個負方向而已，不妨用線段的長度來表示對應點之間的距離.

解：（1）因為D是BC的中點，所以DB=DC，DA+DB=DA+DC.因為AC= ||-20+ ||40=60，所以DA+DB=60，即電子螞蟻甲離A、B的距離之和是60.

問題2已知數軸有三個點A、B、C，其中A點表示的數為20，B點表示的數為80，C點表示的數為90.點P從原點O出發，沿OC方向以1單位/s的速度勻速運動，點Q從點C出發在線段CO上向點O勻速運動（點P、Q分別運動到C、O時停止運動），兩點同時出發.

（1）若點Q運動速度為3單位/s，經過多長的時間P、Q兩點相距70？

（2）當點P運動到線段AB上時，分別取OP和AB的中點E、F，試問的值是否發生變化？若變化求范圍，若不變化求其值.

題（1）點P、Q相距70，有可能出現在相遇前或者相遇后，在上述行程問題的基礎上，還需要進行分類討論，情況更為復雜；（2）P的位置也可能出現在點F的兩側，要注意畫圖觀察是否有區別.

解：（1）設運動時間為t秒，則t+3t=90±70，t=5或40.因為點Q運動到O點停止運動，所以點Q最多運動30s.當點Q到達點O時PQ=OP=30cm，之后點P再運動40s時PQ=OP=70，此時t=70s.故經過5s或70sP、Q兩點相距70cm.

（2）如圖：

教師點評

數形結合作為一種數學思想方法，廣泛應用于“以形助數”和“以數解形”，但這里的“形”不局限于幾何圖形，比如數軸，在這里就是有效工具.小作者將與之相關的運動問題聯想到了行程問題，然后給數軸上的對應線段賦值，直觀地闡明了題目中的數量關系，從而解決問題.這種面對問題無懼干擾、究其本質的方法，值得同學們借鑒.