基于臺架變形修正算法的滾珠絲杠副接觸剛度測量*

□ 隋浩楠 □ 張為民，2 □ 羅 亮 □ 李志強

1.同濟大學機械與能源工程學院 上海 201804

2.同濟大學中德學院 上海 201804

1 研究背景

近年來，數控機床高速、高精度的發展趨勢要求進給系統具有更高的性能，滾珠絲杠副以較高的剛度和定位精度廣泛應用在數控機床進給系統中[1]。然而，滾珠絲杠副接合部的絲杠和螺母之間并不是剛性連接，而是存在一定的柔性，因此在機床運行過程中，滾珠絲杠副在外力的作用下會產生微小變形，導致剛度發生變化[2-3]。 尤其是在高速運行過程中，傳動部件剛度的變化會對進給系統運動精度和動態特性產生很大影響[4]。因此，滾珠絲杠副接觸剛度的準確測量對于機床運動控制，以及發揮機床高速、高精度的性能具有重要意義。

現有的滾珠絲杠副接觸剛度測量裝置結構復雜，成本較高[5]，且沒有考慮臺架在試驗載荷下產生的微小變形對測量結果的影響[6-7]。筆者提出一種基于臺架變形修正的接觸剛度測量方法，臺架結構簡單，可重復性強，并且通過臺架變形修正算法，提高了滾珠絲杠副接觸剛度的測量精度。

2 接觸剛度測量原理

滾珠絲杠副接觸剛度定義為在軸向力的作用下，產生單位變形量時所需的軸向力[8-9]。滾珠絲杠副接觸剛度測量原理如圖1所示，限制螺母的軸向自由度和旋轉自由度，同時限制絲杠的旋轉自由度。在絲杠前端施加軸向載荷δF，接合部前端絲杠受到擠壓而產生變形，而接合部后端絲杠相當于一根支點位于接合部的懸臂梁，在軸向不發生變形，則絲杠末端測得的軸向位移δd即為接合部部件所產生的接觸變形，如此可得待測滾珠絲杠副接觸剛度測量值K=δF/δd。

3 臺架設計

根據上述測量原理，設計滾珠絲杠副接觸剛度測量臺架，如圖2所示。臺架由滾珠絲杠、基座、固定支撐部件，以及力和位移檢測元件等組成，其中調整塊、擋塊用于調整和固定三個支撐塊，防轉擋板用于限制被測絲杠的轉動，力傳感器、加載螺柱和被測絲杠構成加載與檢測裝置，力傳感器一端與支撐塊連接，另一端通過加載螺柱與絲杠前端接觸，通過旋轉加載螺柱對絲杠施加軸向載荷，使之產生軸向位移，位移信號利用安裝在絲杠末端的電渦流傳感器進行采集，從而獲得計算接觸剛度所需的力和位移數據。

▲圖1 滾珠絲杠副接觸剛度測量原理

▲圖2 滾珠絲杠副接觸剛度測量臺架

4 臺架變形分析

采用有限元方法對接觸剛度測量臺架在軸向載荷作用下的變形進行分析。根據實際安裝、調整和加載方式，可以省去固定和支撐部件等非受力部件，保留1號、3號支撐塊，以及絲杠、基座、力傳感器等受力部件。

根據各部件的受力和變形情況，固定基座下表面，限制1號、3號支撐塊在Y方向和Z方向的自由度，分別定義1號支撐塊前側面和3號支撐塊后側面與基座上對應溝槽內表面X方向接觸副，用固定約束限制力傳感器和1號支撐塊，以及被測螺母和3號支撐塊之間的相對位置，得到如圖3所示邊界條件。

施加7 kN軸向載荷，劃分網格進行求解，得到3號支撐塊和絲杠螺母的軸向位移云圖，分別如圖4和圖5所示。由圖4和圖5可以看出，3號支撐塊頂部和底部軸向位移分別為+37.5 μm和-4.61 μm，待測螺母上部和下部軸向位移分別為+21.65 μm和9.77 μm，同時，3號支撐塊在與螺母連接處的軸向位移為+5.91 μm。

▲圖3 邊界條件定義

▲圖4 3號支撐塊軸向位移云圖

▲圖5 絲杠螺母軸向位移云圖

通過對有限元仿真結果分析可知，臺架在軸向載荷作用下發生了兩種變形：①絲杠和3號支撐塊整體發生繞Y軸的旋轉；②螺母并非完全固定，發生了沿軸向的移動。這兩種變形導致絲杠末端位移的測量值與理論變形量之間存在偏差。

基于赫茲接觸理論對滾珠絲杠副軸向接觸變形量進行計算[10-12]，在9 kN載荷作用下，變形量為16.7 μm，臺架計算變形量已經超過理論變形量，對接觸剛度的測量結果存在較大影響，因此，筆者提出一種算法對這一偏差進行修正。

5 臺架變形修正算法

根據有限元分析結果，設計修正算法原理：①采用齊次坐標變換方法對3號支撐塊因旋轉位移而帶來的偏差進行修正[13]；② 利用絲杠末端位移量與螺母軸向位移量的差，可以去除待測螺母因軸向位移而帶來的偏差。滾珠絲杠副接觸剛度測量補償原理如圖6所示。

滾珠絲杠副軸向接觸剛度的變化是由于滾珠、絲杠及螺母等彈性元件產生變形而引起的，因此假設P1為絲杠末端旋轉后彈性元件無變形下的理論位置，P2為絲杠末端在軸向載荷作用下發生旋轉，并且彈性元件發生擠壓變形之后的實際位置，O1、O3分別為絲杠旋轉前后3號支撐塊坐標系，O2、O4分別為絲杠旋轉前后絲杠末端坐標系。

測量點S在O1與O2坐標系下的坐標分別為 （l2+m，r+h，0）及（m，r，0），l2為 3 號支撐塊后側面到測量點之間的絲杠長度，m為測量點S到旋轉前絲杠末端的初始距離，r為測量點S到絲杠末端中心的豎直距離。測量點S在O2坐標系下的坐標[O2]可看作是從O1坐標系下的坐標[O1]平移得到的，即：

可以得到O1到O2的坐標變換矩陣[A]：

O3坐標系由O1坐標系旋轉α角得到，則O1坐標系到O3坐標系的坐標變換矩陣為：

式中：h和α分別為3號支撐塊在軸向載荷作用下的旋轉半徑和旋轉角度。

另外，d為測量點S在O4坐標系下的X方向坐標值，即測量點S到旋轉后絲杠末端的理論位置P1的距離：

由幾何關系可得由于旋轉變形導致絲杠在軸向產生的位移St為：

試驗過程中，位移傳感器S2、S3分別測得的螺母和絲杠末端實際軸向位移為D2和D3，則傳感器測得的絲杠軸向位移Sc為：

綜合式（5）～式（7），去除由于絲杠旋轉引入的軸向位移，得到絲杠僅因滾珠受擠壓變形而產生的軸向位移δx為：

假設3號支撐塊為剛體，在軸向載荷作用下無彈性變形，則3號支撐塊后側面的運動可以看成不改變形狀，只改變位置的移動或轉動。因此，在3號支撐塊的后側面采用兩個位移傳感器S1、S2對位移進行檢測，如圖7所示。圖7中，實線和虛線分別為3號支撐塊的初始位置及旋轉α角之后的位置，h1、h2分別為S1、S2 距離絲杠軸線的安裝高度，m0、n0分別為 S1、S2到3號支撐塊的初始距離；mi、ni分別為旋轉后S1、S2到3號支撐塊的距離；x1、x2分別為S1、S2檢測到的3號支撐塊在水平方向的位移量。

由幾何關系可得：

▲圖6 滾珠絲杠副接觸剛度測量補償原理

▲圖7 3號支撐塊旋轉半徑及旋轉角度原理

聯立式（9）、式（10），得到 3號支撐塊旋轉半徑 h和旋轉角度α分別為：

將h和α的計算結果代入式（8），可得經過修正的絲杠軸向變形δx，若軸向載荷為Fx，則接觸剛度Ka為：

6 試驗驗證

試驗所用的滾珠絲杠副幾何參數和材料特性見表1。

表1 滾珠絲杠副幾何參數和材料特性

基于前述臺架變形修正算法，布置力傳感器于絲杠前端用于軸向載荷的采集，按照圖7所示布置位移傳感器S1和S2，用于檢測3號支撐塊的位移，布置位移傳感器S3于絲杠末端，用于檢測絲杠的軸向變形，臺架實物及傳感器布置如圖8所示。

▲圖8 試驗布置

在試驗過程中，使用美國國家儀器有限公司的采集設備實時同步采集力傳感器與位移傳感器的數據。通過對各傳感器采集到的數據進行處理，獲得滾珠絲杠副軸向接觸剛度隨軸向載荷變化的曲線，同時，根據赫茲接觸理論，得到理論上的軸向接觸剛度隨載荷變化的曲線，如圖9所示。

▲圖9 軸向接觸剛度隨載荷變化曲線

由圖9可見，未經修正的測量剛度值和理論值之間有較大的偏差，而采用筆者提出的臺架變形修正算法進行處理后，得到的試驗曲線和理論曲線基本吻合。在7 kN軸向載荷作用下的理論接觸剛度值為7.46×105N/mm，修正前試驗接觸剛度值為4.11×105N/mm，偏差達到45%，而經過臺架變形修正算法處理后的試驗接觸剛度值為7.71×105N/mm，與理論值偏差只有3.4%?？梢姡肱_架變形修正算法取得了較好的效果，提高了測量精度。

7 結束語

筆者提出了一種考慮臺架變形修正的滾珠絲杠副接觸剛度測量系統，設計并搭建了試驗臺架。通過對試驗臺架進行有限元分析，指出臺架在加載過程中產生的變形對接觸剛度測量存在影響。在分析臺架變形的基礎上提出了臺架變形修正算法，并結合試驗驗證了臺架變形修正算法的正確性。

試驗結果表明，臺架變形修正算法減小了軸向載荷作用下臺架變形引起的偏差，得到的測量結果接近滾珠絲杠副的理論接觸剛度，對滾珠絲杠副接觸剛度的測量和標定具有重要意義，具有較高的實用價值。