電池剩余放電時間預測

黃旭，羅志超，肖一嘯，王敬前*

（1.陜西服裝工程學院 經濟管理學院，陜西西安，712046；2.陜西服裝工程學院基礎部，陜西西安，712046）

引言

鋁酸電池作為電源被廣泛應用于工業，軍事，日常生活當中。鉛酸電池從充滿電開始以恒定電流強度放電，電壓隨放電時間單調下降，直到額定最低保護電壓Um（題中為 9V），這個過程中電壓隨時間應化的關系被稱為放電曲線。而電池通過較長時間的使用或者放置，充滿電后的荷電狀態會發生衰減。根據這一特性，本文對電壓、時間和電流的關系進行研究并建立了曲線擬合模型，來預測不同電流強度及狀態下的放電時間。現給出兩個附件：

附件 1是同一生產批次電池出廠時以不同電流強度放電測試的完整放電曲線的采樣數據。

附件 2是同一電池在不同衰減狀態下以同一電流強度從充滿電開始放電的記錄數據。

根據附件中所給出的數據，解決以下三個問題：

問題1：利用初等函數表示同一生產批次出廠電池以9種放電電流放電時的放電曲線。從附件一中按從Um開始按不超過0.005V的最大間隔提取231個電壓樣本點并求出其平均相對誤差(MRE)在電壓為9.8V，電流強度分別為的條件下的電池剩余放電時間。

問題2：建立以20A到100A之間任一恒定電流強度放電時的放電曲線的數學模型。

問題3：預測附件2中電池衰減狀態3的剩余放電時間。

1 問題分析

需要根據附件 1中的數據求得各個放電強度中的平均相對誤差，通過曲線擬合建立不同電流強度下電壓與電池剩余時間的關系，及不同電壓下電流強度與電池剩余時間的關系。問題的特點在于數據量大，難點在于在附件1中要取231個樣本點求得各曲線方程的平均相對誤差，及MRE評估模型精度。

1.1 問題1分析

通過SPSS軟件，根據曲線擬合求得各放電強度下的放電曲線方程，建立了電池放電時間和電壓的關系，然后再有合EXCEL軟件根據題目中對平均相對誤差(MRE)取231個樣本點，求得各放電曲線的平均相對誤差，最后在固定電壓為9.8V、電流強度為30A～70A的放電條件下，通過放電曲線方程預測得到電池放電時間，進而求得保護電壓9V時，已知放電時間減去預測放電時間得到電池剩余放電時間。

1.2 問題2分析

通過SPSS軟件建立20A～100A的電流強度與電壓、時間的關系的數學模型求得其MRE，代入55A的電流強度，求得電壓與放電時間、剩余放電時間的關系，從而用表格和圖形繪制出放電曲線。

1.3 問題3分析

根據附件二所給的數據利用SPSS軟件建立出衰減狀態3下電壓與時間的的線性方程，從而求得電池衰減狀態3下的放電時間進而求得電池剩余放電時間。

2 模型的建立與求解

2.1 問題1的解決方案

本節運用SPSS軟件，根據曲線擬合求得各放電強度下的放電曲線方程，建立了電池放電時間和電壓的關系，然后再有合EXCEL軟件根據題目中對平均相對誤差(MRE)取 231個樣本點，求得各放電曲線的平均相對誤差，最后在固定電壓為9.8V、電流強度為30A～70A的放電條件下，通過放電曲線方程預測得到電池放電時間，進而求得保護電壓9V時，已知放電時間減去預測放電時間得到電池剩余放電時間。

2.1.1 問題1模型的建立

根據對附件 1所給出的數據，畫出電流強度為20A～100A的圖表，如圖1至圖9所示。通過SPSS軟件，可以擬合出多項式函數、指數函數、對數函數等，采用P值檢試和數值大小比較，選用二次函數作為模型，所以建立的模型為：

以下(1)至(9)給出電流強度為20A～100A時，具體的放電曲線表達式、MRE和電壓為9.8V時的剩余時間。

（1）當電流強度為20A時，擬合的放電曲線如圖1所示：

放電曲線方程為：

MRE電池的剩余時間為942.08891。

（2）當電流強度為30A時，擬合的放電曲線如圖2所示：

放電曲線方程為

MRE電池的剩余時間為618.68669。

圖1 20A時的放電曲線

圖2 30A時的放電曲線

（3）當電流強度為40A時，擬合的放電曲線如圖3所示：

放電曲線方程為

MRE電池的剩余時間為443.08988。

（4）當電流強度為50A時，擬合的放電曲線如圖4所示：

放電曲線方程為

MRE= 0.012208979；當y9.8V時，x= 966.1274，電池的剩余時間為341.8726。

圖3 電流強度為40A時的放電曲線

圖4 電流強度為50A時的放電曲線

（5）當電流強度為60A時，擬合的放電曲線如圖5所示:

放電曲線方程為

MRE電池的剩余時間為292.91203。

（6）當電流強度為70A時，擬合的放電曲線如圖6所示：

放電曲線方程為

MRE電池的剩余時間為274.45014。

圖5 60A時的放電曲線

圖6 70A時的放電曲線

（7）當放電強度為80A時，擬合的放電曲線如圖7所示：

放電曲線方程為

MRE電池的剩余時間為255.24913。

（8）當放電強度為90A時，擬合的放電曲線如圖8所示：

放電曲線方程為

MRE電池的剩余時間為233.77035。

（9）當放電強度為100A時，擬合的放電曲線如圖9所示：

放電曲線方程為

MRE= 0.076401288；當y9.8V時，x= 317.39805，電池的剩余時間為220.60195。

圖7 80A時的放電曲線

圖8 90A時的放電曲線

圖9 100A時的放電曲線

對電流強度為20A～100A計算得的曲線方程，MRE及電池剩余放電時間如下表1所示:

表1 MRE及電池剩余放電時間

60A 0.019002876 292.91203 70A 0.029631008 274.45014 80A 0.039804134 255.24913 90A 0.048429112 233.77035 100A 0.076401288 233.77035

利用矩陣表示電流強度為20A～100A曲線方程，如下：

由矩陣可以看出，在電流強度為20A～100A曲線方程中，當x>0時，為減函數，說明隨著時間的增加，電壓隨之減少，與實際相符。而表1中基本上所有的MRE<0.006，說明所擬合的函數精度高。

對電流強度與部分剩余放電時間的關系如下表2所示：

表2 電流強度與部分剩余放電時間

對電流強度與電池剩余時間關系的折線圖由下圖10所示：

圖10 電流與剩余放電時間的關系

由表2和圖10可以看出，同一電池在同一電壓下，隨著電流強度的逐漸增加，時間逐漸減少。

2.2 問題2的解決方案

通過SPSS軟件建立20A～100A的電流強度與電壓、時間的關系的數學模型求得其MRE，代入55A的電流強度，求得電壓與放電時間、剩余放電時間的關系，從而用表格和圖形繪制出放電曲線。

2.2.1 問題2模型的建立

由問題一建立的二次函數模型可以得到電壓與時間的模型為：

可以得到模型中a、b、c隨電流的應化而應化，因此可以通過SPSS建立a、b、c與電流強度關系的表達式：

所以，可以建立出電壓與時間、電流的模型：

因此可以建立電壓、電流與時間的方程為:

（1）電流強度為20A～100A時與放電曲線模型中的各項系數擬合有有如下表3所示：

表3 電流強度與放電曲線數學模型中的各項系數擬合結果

觀察表3可得，當x>0時，為減函數，說明隨著電流強度的增加，各項系數也逐漸減少。

（2）電流強度為55A時，放電時間與部分電壓的關系如下表4所示：

表4 放電時間與部分電壓的關系

電流強度與電池剩余時間的折線圖如下圖10所示 ：觀察表4與圖10可得，當電流為55A時，放電時間的逐漸減少，電壓逐漸增加，與實際相符。

圖10 放電時間與電壓的關系

2.3 問題3的解決方案

本節主要根據附件二所給的數據利用SPSS軟件建立出衰減狀態3下電壓與時間的的線性方程，從而求得電池衰減狀態3下的放電時間進而求得電池剩余放電時間。

2.3.1 問題3模型的建立

根據附件二所給的數據利用SPSS軟件建立出衰減狀態3下電壓與時間的的線性方程：

求得當電壓為9v時所得時間為1255.441，因此電池衰減狀態3的剩余放電時間為659.241。

3 有束語

（1）本文利用了圖像分析法和對比分析法，可以更清晰的分析出圖像中的信息。

（2）本文所建立的任務定價模型也可以應用于其他服務定價，推廣度較高。

（3）本文在選取應量時應對影響任務標價的各個應量進行檢試與選取，從而能挑選出與任務標價關系更為密切的應量。