實心轉子永磁同步電機電樞反應磁場的諧波式解析解*

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(1西安交通大學機械工程學院，陜西西安710049； 2西安交通大學機械結構強度與振動國家重點實驗室，陜西西安710049)

0 引言

彈性箔片氣體軸承支承的高速永磁同步電機主要應用于燃料電池空氣壓縮機、微型燃氣輪機等各種透平機械中，與傳統(tǒng)電機相比較，具有一些顯著的優(yōu)勢，是電機領域的研究熱點。同時在節(jié)能減排的大環(huán)境下，永磁電機以效率高、性能好、輕型化等特點，發(fā)揮著重要的作用，具有廣闊的應用前景。電磁場分析是電機研究中的基礎和重點內容，對其計算和分析的結果是設計、優(yōu)化電機的關鍵，影響著電機振動和噪聲、電磁損耗等特性計算和分析的準確程度，還直接影響著電機的控制性能。

氣隙磁場的計算可以將永磁體磁場和電樞反應磁場疊加[1]。在求解永磁電機電樞反應磁場方面，1993年Zhu等[2]在將定子槽內的載流導體等效為電流片的基礎上，在極坐標下求解拉普拉斯方程，獲得了無刷永磁直流電機電樞反應磁場的解析解。無刷永磁電機定子繞組厚度的作用不能忽視，尤其是當繞組厚度與極距之比增加時，因此用無限薄電流片等效繞組的話并不合適，Atallah等[3]于1998年基于分布電流模型，獲得了考慮定子繞組厚度時極坐標下無槽永磁無刷電機電樞反應磁場的二維解析解。2012年Rahideh等[4]建立了計算內轉子和外轉子無槽永磁無刷電機電樞反應磁場的二維解析模型，該模型適用于交流、直流以及任何相數(shù)的電機。在求解的過程中，將整個電機的求解場域劃分成為了八個子區(qū)域，求解相應的控制偏微分方程，得到各個子區(qū)域電樞反應磁場分布的通解，根據(jù)邊界條件求出通解中的各個整數(shù)系數(shù)，進而得到各個子區(qū)域的電樞反應磁場分布。林福等[5]從單個線圈產生的磁場入手，進而根據(jù)磁場分布矢量圖推導出單相繞組產生的磁場，通過合成各相繞組產生的磁場得到分數(shù)槽集中繞組永磁同步單元電機無槽時電樞反應磁場分布的解析表達式，基于保角變換方法推導出復數(shù)氣隙比磁導之后，將無槽時的電樞反應磁場與復數(shù)氣隙比磁導相乘，考慮電機定子開槽對電樞反應磁場的影響。Bellara等[6]在2009年利用子區(qū)域法求解了表貼式永磁同步電機考慮齒槽效應時的電樞反應磁場，模型同時考慮了轉子心軸導磁和不導磁的情形，且適用于繞組為疊繞和非疊繞的布線方式，但是文獻并沒有給出明確的解析形式。Wu等[7]建立了考慮齒尖影響的疊繞和非疊繞繞組表貼式永磁電機電樞反應靜態(tài)磁場的子區(qū)域解析模型。

對永磁電機電磁轉矩、轉子偏心氣隙磁場、電磁損耗等特性進行定性分析時，明確氣隙磁場的諧波成分是關鍵。現(xiàn)有的很多永磁體氣隙磁場的解析解都可以清楚地表示出各次諧波磁場成分[8,9]，從這方面來說，目前為止，大多數(shù)電樞反應磁場解析解形式卻不太簡潔，在分析電機相關特性時不夠方便。對于高速或超高速永磁電機，由于常規(guī)的疊片轉子難以承受高速旋轉產生的離心力，需要采用實心轉子，即永磁體采用實心圓柱式或內裝導磁或不導磁心軸的圓環(huán)形。本文針對這三種結構類型的分布繞組永磁同步電機，從氣隙中單根線電流所產生的磁場入手，推導三相繞組在氣隙中產生的合成磁場，目的在于獲得以各次諧波成分表達的形式簡單且在后續(xù)電機特性的研究中使用方便的電樞反應磁場解析表達式。

1 實心圓柱式和內裝不導磁心軸的環(huán)形永磁同步電機

實心轉子永磁同步電機的轉子結構如圖1所示。首先推導實心圓柱式和內裝不導磁心軸的環(huán)形永磁同步電機電樞反應磁場的解析表達式。

圖1 實心轉子永磁同步電機的轉子結構

1.1 氣隙中單根線電流產生的磁場

在極坐標系下建立數(shù)學模型，下角標r，θ和z分別表示變量的徑向、周向和軸向分量。為了分析方便，作如下假設

(1)定子鐵心的磁導率為無窮大；

(2)永磁材料的磁導率與空氣磁導率相等；

(3)忽略端部效應。

如圖2所示，導線位于r=a，θ=0°處。P為氣隙中的一點，α和ρ表示以線電流所在位置作為原點時P點的坐標，則氣隙內的向量磁位Az為[10]

(1)

式中，μ0—真空磁導率。

圖2 單根線電流

由于保護套選用不導磁合金，相對磁導率與空氣近似，可將永磁體、保護套和不導磁心軸作為空氣處理。邊界條件為：r→0時，徑向磁密Br和切向磁密Bθ有界

(2)

根據(jù)邊界條件，求得Aυ和Bυ，代入式(1)，得

(3)

1.2 氣隙中載流線圈產生的磁場

設線圈的兩條有效邊分別為c1和c2，節(jié)距為y1，張角為2ξ(ξ=y1×90°/τ)，如圖 3 所示，將線圈的兩條有效邊產生的向量磁位疊加可得到線圈在氣隙中產生的磁場，即

(4)

式中，Kyυ—υ次諧波的節(jié)距系數(shù)，Kyυ=sin(υξ)。

圖3 載流線圈

對于整距線圈，ξ=π/2，偶次諧波的節(jié)距系數(shù)Kyυ=0，式(4)改寫為

(5)

氣隙磁密則為

(6)

1.3 相繞組在氣隙中產生的磁場

忽略鐵心飽和，位于定子槽內的導體電流等效為位于光滑電樞表面的電流片，寬度等于槽口寬度bo，電流片分布可寫為

(7)

式中，Nc—線圈的匝數(shù)；i(t)—定子相電流的瞬時值；a—并聯(lián)支路數(shù)；β—槽口寬度對應的角度。

由式(6)和式(7)可以得到該電流片在光滑氣隙內產生的電樞反應磁場

(8)

式中，

(9)

若每極每相槽數(shù)為q，一個線圈組由q個線圈串聯(lián)而成。雙層繞組的一相繞組有2p(p為極對數(shù))個線圈組，單層繞組的相繞組有p個線圈組。將磁勢矢量相加，再考慮到對于雙層繞組，每相串聯(lián)匝數(shù)N=2pqNc/a，而對于單層繞組，N=pqNc/a。將單層繞組和雙層繞組綜合處理，若坐標軸線取得與線圈組的軸線相重合，可得相繞組在氣隙中產生的磁密幅值為

(10)

(11)

式中，Kwυ—υ次諧波的繞組系數(shù)；Kdυ—υ次諧波的繞組分布系數(shù)；Kpυ—υ次諧波的短距系數(shù)；α—槽距角、電角度；y1—節(jié)距；τ—極距。

于是，單相繞組所產生的氣隙磁密可以寫成

(12)

各次諧波的正負取決于繞組系數(shù)Kwυ的正負。由式(12)可知單相繞組所產生的氣隙磁密只含基波和3，5，7，…等奇數(shù)次諧波。

1.4 三相繞組在氣隙中產生的合成磁場

定子三相對稱繞組中通以三相對稱電流，取A相繞組的軸線作為空間坐標的原點，并以順著相序的方向作為θ的正方向，同時選擇A相電流為零的瞬間作為時間的零點，則各相繞組在氣隙中產生的磁場可寫為

(13)

其中，

(14)

式中，Im—定子相電流的幅值。

將三相繞組在氣隙中產生的磁場相加，并根據(jù)積化和差的三角函數(shù)關系進行分解，得到三相繞組在氣隙中產生的υ次合成磁場為

(15)

(16)

其中，

(17)

由此可知當定子三相對稱繞組中通以三相對稱電流時，三相繞組的基波合成氣隙磁密為一正向旋轉磁密波，轉速為同步轉速ns，諧波合成氣隙磁密不存在次數(shù)為3的整數(shù)倍的諧波成分，只含有5，7，11，…等奇數(shù)次諧波。當諧波次數(shù)υ= 6k+ 1 (k= 1，2，3，… ) 時，諧波合成磁密是一個正向旋轉，轉速為ns/υ的旋轉磁密波；當υ= 6k-1 (k= 1，2，3，… )時，諧波合成磁密是一個反向旋轉，轉速為ns/υ的旋轉磁密波。

2 內裝導磁心軸的環(huán)形永磁同步電機

對于內裝導磁心軸的環(huán)形永磁同步電機，假設心軸的磁導率為無窮大，邊界條件(1)變?yōu)?/p>

Bθ|r=Rr=0

(18)

式中，Rr—導磁心軸的外半徑。

用同樣的方法推導出相繞組在氣隙中產生的磁場，形式同式(12)，其中

(19)

進而推導出三相繞組在氣隙中產生的υ次合成磁場，形式同式(14)和式(15)，其中

(20)

3 有限元仿真驗證

選用兩臺實心轉子永磁同步電機，分析其電樞反應磁場。電機1為實心圓柱式永磁同步電機，電機2為內裝導磁心軸的環(huán)形永磁同步電機，電機模型參數(shù)如表1所示，兩臺樣機均采用雙層短距繞組結構。在電磁場分析軟件Ansoft Maxwell中建立電機定子鐵心以及繞組的有限元模型并進行氣隙磁場的仿真計算，將結果與本文解析模型計算的結果進行對比。A相電流達到最大時，該相繞組的勵磁磁場如圖4和圖6所示，可以看出，距離定子內徑相對較遠處，定子槽口對氣隙磁密的影響非常微弱，解析解和有限元解吻合地非常好。靠近定子內徑處，定子槽口對氣隙磁密的影響非常大，解析解和有限元解基本上仍然能夠很好地吻合。需要注意的是，在解析計算的過程中，磁場諧波的階次數(shù)取了有限值，這可能會造成解析解和有限元解的差異。

表1 電機模型參數(shù)

圖4 A相繞組勵磁磁場(電機1)

圖5 三相繞組在氣隙中產生的合成磁場(電機1)

A相電流為零的瞬間，三相繞組在氣隙中產生的合成磁場如圖5和圖7所示。由圖5和圖7可以得出與圖4和圖6相似的結論，解析法計算的結果與有限元法計算的結果能夠很好地吻合。

圖6 A相繞組勵磁磁場(電機2)

圖7 三相繞組在氣隙中產生的合成磁場(電機2)

4 解析模型在電磁轉矩分析中的應用

本文推導出的實心轉子永磁同步電機電樞反應磁場諧波式解析模型形式簡潔，便于分析同類電機的電磁轉矩等相關特性。對于這三類實心轉子永磁電機，轉子同步旋轉時，永磁體產生的旋轉磁場可表示為

(21)

根據(jù)麥克斯韋應力張量法，作用于電機轉子單位面積上的切向電磁力為

(22)

這些結構類型的永磁電機的有效氣隙長度較大，由定子開槽產生的低階力波幅值小，因此可忽略定子開槽的影響。考慮到對于永磁體磁場和電樞反應磁場，其自身的徑向和切向磁場相互作用不產生轉矩，因此電磁轉矩為

(23)

其中，

(24)

式中，la—電機的有效軸向長度；Bδr—負載徑向氣隙磁密；Bδθ—負載切向氣隙磁密；Baδr—電樞反應徑向氣隙磁密；Baδθ—電樞反應切向氣隙磁密；φ—電樞反應磁場與永磁體磁場的夾角。

(25)

υ=1時，Cυ=-1，由式(25)可得到

(26)

即電磁轉矩為恒定值，不產生波動。

5 結語

從氣隙中單根線電流所產生的磁場入手，推導了三類實心轉子分布繞組永磁同步電機電樞反應磁場的解析模型，結果表明

(1)單相繞組所產生的氣隙磁密只含基波和3，5，7，…等奇數(shù)次諧波。

(2)當定子三相對稱繞組中通以三相對稱電流時，三相繞組的基波合成氣隙磁密為一正向旋轉磁密波，轉速為同步轉速ns，諧波合成氣隙磁密不存在次數(shù)為3的整數(shù)倍的諧波成分，只含有5，7，11，…等奇數(shù)次諧波。當諧波次數(shù)υ=6k+1 (k=1，2，3，… )時，諧波合成磁密是一個正向旋轉，轉速為ns/υ的旋轉磁密波；當υ=6k-1 (k=1，2，3，…)時，諧波合成磁密是一個反向旋轉，轉速為ns/υ的旋轉磁密波。

(3)本文電樞反應磁場解析模型適用于任意極槽配合以及任意繞組層數(shù)的同類實心轉子永磁同步電機，形式簡潔，方便于電磁轉矩、轉子偏心氣隙磁場、電磁損耗等電機特性的分析。

另外，本文將建立的電樞反應磁場解析模型應用于實心轉子永磁同步電機電磁轉矩的分析，結果表明電磁轉矩為恒定值，不產生波動。