投資組合中協(xié)方差陣的估計和預測

劉麗萍

（貴州財經(jīng)大學數(shù)學與統(tǒng)計學院，貴陽 550025）

引言

協(xié)方差陣在實際生活中有著廣泛的應用，尤其是在資產(chǎn)組合及風險管理中，其扮演著不可替代的角色。協(xié)方差陣的估計方法大都是基于低頻數(shù)據(jù)的。近年來，高頻數(shù)據(jù)越來越容易獲得，較低頻數(shù)據(jù)而言，其包含了更加豐富的信息。高頻數(shù)據(jù)的信息量更高，但抽樣頻率提高的同時會帶來微觀噪聲影響越來越大的問題。由于短期內的價格波動等因素，資產(chǎn)收益率可能出現(xiàn)幅度較大的變化，數(shù)據(jù)呈現(xiàn)跳躍狀態(tài)，該跳躍對高頻數(shù)據(jù)協(xié)方差陣估計帶來更多難題。信息技術的發(fā)展促使更多高頻交易場景以及更高頻率的交易場景的出現(xiàn)。人們對高頻協(xié)方差陣的研究也隨之深入，對微觀噪聲和跳躍對其估計的影響也進行了探索。研究指出，微觀噪聲以及跳躍存在時，積分協(xié)方差陣的一致估計量不是已實現(xiàn)協(xié)方差陣，并提出降低微觀噪聲以及跳躍影響的估計量（比如Zhang（2011）[1]、Griffin和Oomen（2011）[2]、Barndorff-Nielsen和Hansen等（2011）[3]、以及Nole和Voev（2008，2012）[4～5]）。但之前的研究往往分別研究噪聲或者跳躍的影響，劉麗萍（2013）[6]提出了修正的門限預平均已實現(xiàn)協(xié)方差陣（MTPCOV），MTPCOV估計量同時考慮了噪聲和跳躍的影響，以期彌補之前研究的不足。

頻率高、維度大是當今金融機構所研究的數(shù)據(jù)的顯著特征。這種情況下，維數(shù)詛咒導致一些協(xié)方差陣的估計和預測模型的適用性較差。為了克服這些問題，本文將MTPCOV和VAR-LASSO結合起來，來解決噪聲、跳躍和維數(shù)詛咒對協(xié)方差陣估計的影響。本文后續(xù)內容如下：第一部分詳細介紹了MTPCOV估計量；第二部分將MTPCOV和VAR-LASSO模型相結合來估計和預測高維高頻的金融協(xié)方差陣；第三部分是實證分析；最后一部分是本文的結論。

一、MTPCOV估計量

修正的門限預平均已實現(xiàn)協(xié)方差陣（MTPCOV）是由劉麗萍（2013）[6]提出的，其構造形式如下：

在上式（1）中，由馬丹和尹優(yōu)平（2012）[7]的研究可知，MTPCOV的主對角線元素MTPRV的形式為：

由劉麗萍（2013）[6]的研究可知，MTPCOV的副對角線元素MTPCV的形式為：

劉麗萍（2013）[6]的研究指出，協(xié)方差陣MTPCOV解決了維數(shù)詛咒和噪聲的影響，是積分協(xié)方差陣的一致估計量。但是，當資產(chǎn)的維度較高時，該估計量將面臨著嚴重的維數(shù)詛咒問題，估計效果很差。為此，本文考慮將MTPCOV估計量和VAR-LASSO模型相結合，來解決維數(shù)詛咒問題。

二、考慮噪聲和跳躍影響的高維高頻協(xié)方差陣的估計和預測

前文提到的MTPCOV估計量同時考慮了噪聲和跳躍的影響，但是當資產(chǎn)的維度較高時，該估計量將面臨著嚴重的維數(shù)詛咒問題。為此，我們考慮將MTPCOV估計量和VAR-LASSO模型相結合，首先采用MTPCOV估計量估計出高頻數(shù)據(jù)的協(xié)方差陣，將其記為∑。VAR-LASSO模型是由Callot和Kock等（2017）[8]針對高維高頻數(shù)據(jù)而提出的模型，該模型認為，前p期的協(xié)方差陣的值會影響到當期的值。也就是說，第t期的協(xié)方差陣∑t依賴于∑t-1，…，∑t-p。假定資產(chǎn)的維度為n，則協(xié)方差陣∑t為n×n，共有不同元素n（n+1）/2個。對采用MTPCOV估計量估計的t時期的協(xié)方差陣∑t的上三角元素進行拉直操作，符號vech（）表示拉直操作，得到向量yt=vech（∑t）。假定yt服從VAR（p）模型，即：

式（4）中，Φi（i=1，…，p）是k×k的系數(shù)矩陣（k=n（n+1）/2）；yt-i=vech（∑t-i）。式（4）可以簡化為如下形式：

式（4）中，yi=（yT，i，…，y1，i）′是觀測值i（i=1，…，k）的向量；?i=（?T，i，…，?1，i）′是由對應的殘差構成的向量；X=（ZT，…，Z1）′，是kp維的系數(shù)向量。根據(jù)式（5）可知，我們所建立的每一個方程，都需要估計個個參數(shù)，并且待估參數(shù)的個數(shù)會隨著資產(chǎn)產(chǎn)維度的增加而急劇地增加，資產(chǎn)維度的增高會加劇式（5）的估計困難。所以，Callot和Kock等又進一步在VAR（p）模型中引入LASSO方法，將不顯著變量的回歸系數(shù)壓縮至0。其思想可以由式（6）表示，通過最小化式（6）來估計最優(yōu)的回歸系數(shù)。

估計出VAR-LASSO模型的回歸系數(shù)后，便可以根據(jù)其進一步做預測，假定我們做的是滾動的一步向前預測。則：

三、實證研究

在該部分的實證研究中，我們選擇的是2011年1月4日至2014年9月30日的上證180指數(shù)成份股的高頻數(shù)據(jù)，剔除交易缺失的數(shù)據(jù)，共有交易的天數(shù)為906天。將906天劃分為估計和預測兩個部分，估計區(qū)間的長度為806天，預測區(qū)間的長度為100天。采用滾動預測法來預測后100天的協(xié)方差陣。首先采用MTPCOV和Andersen（2003）[9]提出的RCOV估計量來估計前806天的協(xié)方差陣，接著采用VAR-LASSO模型和劉麗萍等（2015）[10]提出的CF-ARMA模型來預測第807天的協(xié)方差陣；然后采用相同的協(xié)方差陣估計量來估計2—807天的協(xié)方差陣，從而預測出第808天的協(xié)方差陣；依此類推，直到選用101—905天的數(shù)據(jù)來估計協(xié)方差陣，最后預測出第906天的協(xié)方差陣。我們將預測出的100天的協(xié)方差陣應用在投資組合中，來驗證它的應用效果。這里，我們采用的投資組合是等比例風險投資組合。下表給出了我們采用不同的模型預測得到的資產(chǎn)組合的收益、波動和夏普比例值。

組合收益、波動及Sharpe比率值

從上表可以得到三條結論：首先，無論采用的預測模型是CF-ARMA模型還是VAR-LASSO模型，由MTPCOV估計量構造的投資組合的收益明顯高于RCOV，并且MTPCOV的組合波動更小，Sharpe比率值更高，這是因為MTPCOV估計量克服了噪聲和跳躍的影響。其次，預測模型VAR-LASSO明顯要優(yōu)于CF-ARMA。最后，由VAR-LASSO模型預測的MTPCOV估計量構造的投資組合最優(yōu)，其對應的Sharpe比率值最高，因為VAR-LASSO模型和MTOCOV相結合來估計和預測金融數(shù)據(jù)的協(xié)方差陣時，不僅解決了噪聲和跳躍的問題，還解決了維數(shù)災難問題。

下頁圖是VAR-LASSO和CF-ARMA模型預測的資產(chǎn)組合的邊界圖，下頁圖的結果基本與上表相符，進一步說明考慮了噪聲和跳躍的MTPCOV估計量明顯優(yōu)于RCOV估計量，采用VAR-LASSO模型預測的MTPCOV估計量應用在投資組合中有較好的表現(xiàn)。

組合的有效邊界圖

結語

高維高頻協(xié)方差陣的估計和預測是統(tǒng)計領域研究的熱點問題。噪聲、跳躍以及維數(shù)詛咒問題為協(xié)方差陣的估計帶來了眾多的挑戰(zhàn)。本文將MTPCOV和VAR-LASSO模型相結合來來估計和預測高維高頻協(xié)方差陣，在考慮了噪聲和跳躍對協(xié)方差陣估計影響的同時，也解決了維數(shù)詛咒問題。將VAR-LASSO模型預測的MTPCOV估計量應用在投資組合中，發(fā)現(xiàn)與其他估計量相比，由其構造的投資組合有更好的表現(xiàn)，收益更高，風險更小，其對應的Sharpe比率值更高。