與學生對話自然解法的生成

摘要：對教材的練習題的改編題，給出了多種不同的解法，體現與學生的對話交流與感悟。讓數學的一提多解得以體現，從解法體現自然生成。在教學中體現堅持循序漸進、循環上升的原則。感受到在平時的教學中堅持啟發和引導學生學習和理解解題分析，讓學生深刻地領悟和認識這些基本概念的豐富內涵及相互聯系，并形成一定的知識鏈。使得學生解題時，能自然生成。

關鍵詞：一題多解；自然生成；循序漸進；轉換；異曲同工

一、 題目

如圖1，四邊形ABCD是正方形，點E是邊BC上的任意一點（點E與B，C不重合），∠AEF=90°，且EF交正方形外角的平分線CF于點F，求證：AE=EF。

此題是在初三年級復習時所編擬的一道試題，它的原題是人教版八年級下冊復習題18中的14題，只是把“點E是BC的中點”改為了“點E是BC邊上的任意一點”而形成的，要求學生根據所復習過的知識給出此題的解答。

二、 解法與對話

以上是同學們給出的三種解法，下面先請完成解法1的同學談談解法1是怎樣想到的。學生1：“以前曾經做過一道類似的試題，有一點不同的是‘點E是BC的中點，其實不論點E在BC上的何處，∵AB=BC，只要截取BG=BE，總有AG=CE，有了一組邊相等，再利用等邊對等角的性質和題目的已知條件就可以得到：∠AGE=∠FCE=135°，∠EAB=∠FEC而獲解?！?/p>

學生1能根據回顧并借用已有的方法而獲得解答，那么解法2又是怎樣產生的？學生2：“我的想法也是通過由兩個三角形全等來證明AE=EF，而兩個三角形全等必須至少有一組邊相等，而CE恰好是同時與AE，EF都關聯的線段，再加上正方形的對角線平分對角，就想到了添加輔助線AC，又由條件可知∠FCE=135°，其補角也是45°，在這樣思維啟發下，想到了過E作EH⊥BC，造就了△AEH與△FEC既有相等的邊，又有了相等的角，也就形成了解法2?！睂W生3：“我的想法與學生2的想法基本一致，連接AC后，構造的△AEC的∠ACE=45°，又由于CF是正方形外角的平分線，分成的每一個角也恰好是45°，所以在保障EC作為三角形的邊的前提下，過E作EM⊥BC與FC的延長線相交，這樣也就有了解法3”。

以上三種解法，基本思路相同都是添加輔助線構造兩個三角形全等而獲解，解法1是一步到位，解法2、解法3雖然不是一步到位，但都是充分利用了正方形的性質，在第一次添加輔助線AC的基礎上，再進一步認識和挖掘題設條件，作出了第二條輔助線，這樣的聯想產生流暢自然。

解法4、解法5類似，均應用了等腰三角形的判定。而這樣的解法是怎樣想到的，下面請一位同學談一談你的解法。學生4：“要證明兩條線段相等，如果這兩條線段是同一個三角形的邊就可以通過等角對等邊的關系來進行判斷。而AE與EF在直線BC的同側，∠EAB與∠FEC相等的關系不好利用，由于正方形是軸對稱圖形，能否利用對稱性將AE、EF轉化為直線BC異側的兩條線段，且又能利用∠EAB=∠FEC的關系，也就找到了解決問題的突破口。在這樣的思考聯想下，就形成了解法4”。剛才學生4對問題的分析說得很好，當面對的問題直接獲解有困難時，可否尋找一個“中間量”進行“轉化”。解法4、解法5，就是將直線BC同側的AE、EF轉換成了直線BC異側的ME與EF或AE與EN，而實現轉換目標的。就是通過對稱變換，也就是作出了點A關于直線BC的對稱點M，或點F關于直線BC的對稱點N。這樣的對稱點也恰好就是通過正方形的對角線，或外角的平分線來實現的，這兩種解法的同學，能充分認識正方形的性質，獲取問題的解法當然也就自然生成了。

解答到這，還有學生提出：“因為∠AEF=90°，如果AE=EF，那么△AEF就是等腰直角三角形，因此要證明AE=EF，只需要∠AFE=45°即可。由正方形的性質可知∠ACB=45°，而要確定角的度數，只需要三角形相似就行了。這樣就還有相似的解答方式一”。又有學生搶著說：“我的想法與解法1一樣，也是想證明AE，EF分別所在的兩個三角形全等，由條件可知∠EAB=∠FEC，且AE是Rt△ABE的斜邊，所以就作了FK⊥BC，而構造出Rt△EKF與Rt△ABE沒有相等的邊可直接應用，但Rt△EKF與Rt△ABE相似，由相似三角形性質可以建立邊與邊的數量關系，又因為BE+CE=AB，CF是正方形外角的平分線，也有CK=FK，從而也就生成相似解法方式二”。受篇幅限制，在此就不想寫出來了。希望愛好的讀者試一試。

相似的解法與前面5種解法不同，沒有受限于三角形全等，而是利用三角形相似來完成證明的，著力點之一在求∠AFE=45°，在通過認真審視四邊形AECF的引領下，把三角形相似的判定與性質結合起來反復應用。這樣的綜合應用多見于全等形，這就是一種思維遷移，值得學習與借鑒。方式二利用三角形相似的判定和性質是對數和形相結合的一種展示。更主要的是突出了方程思想的應用理念，這種應用代數方法去完成幾何問題的解法效果不錯，也很新穎。當然建立平面直角坐標系也能進行求解，也是一種代數方法。只是受所學知識的限制，在求直線EF的解析式時還利用了三角形相似的判定和性質，因此略去了具體解答。喜歡的讀者可以試一試。

三、 感悟

對于一道試題的改編題，學生們給出了多種不同的解法，特別是前幾種解法，以及與學生的對話交流，我們有如下的一些感悟。第一、學生易于接受，并能掌握的解法，說明它符合學生的認知實際，這樣的解法也就是自然解法。第二、解題方法能否有多樣性與學生所掌握的知識有一定的必然聯系，而且只要在教學中堅持循序漸進、循環上升的原則，解題教學的效果一定會提高。第三、獲取自然解法的關鍵是學生理解掌握了對問題的求解分析，通過對求解分析的思維活動才可能成功地獲取解題路徑。同時也讓我們感受到在平時的教學中堅持啟發和引導學生學習和理解解題分析，在這個環節上多下功夫是可行的、有效的，必須堅持的。第四、從學生給出的解法與其對話中，還進一步肯定了在教學中重視對定義、定理、公式、法則等基本概念的教學，不僅讓學生記住它們的題設與結論，更要讓學生深刻地領悟和認識這些基本概念的豐富內涵及相互聯系，并形成一定的知識鏈。例如在對勾股定理及其逆定理的教學中，不僅讓學生記住這兩定理，還讓學生透過這兩個定理進一步地理解認識平面幾何所研究的兩大對象“形”與“數”以及相互的關聯性，即形可以用數來進行刻畫，數在一定的法則下可進行運算，運算的結果又可以展示形的特征。因此學生們能給出解法7也就在情理之中了。

作者簡介：

章偉，重慶市，重慶市第十八中學。