集合在高考試題中的考點解析

呂曉蝶

摘 要 集合是高中數學的基礎知識，也是高考中的必考點。對于集合的學習，首先要掌握集合的含義與表示；其次要掌握理解集合間的基本關系；最后要掌握集合的基本運算并能使用韋恩圖表達集合間的關系及運算。

關鍵詞 集合 交與并 集合運算

中圖分類號：G633 文獻標識碼：A

1考點一：集合的含義與表示

考點解析：（1）了解集合的含義、元素與集合的屬于關系；（2）能用自然語言、圖形語言、集合語言描述不同的具體問題。

典型例題解析：

例1：設P、Q為兩個非空實數集合，定義集合，，；若，，則集合中元素的個數是？

解析：首先分析集合中元素與集合P、Q中元素之間的關系，那么可知存在的關系；其次再分別確定a和b的值以及的值；最后計算集合中元素的個數。

解：當時，無論的取值如何，均為0；

當時， = ；

當時， = ；

當時， = ；

當時， = ；

故，因此集合中元素的個數為3。

例2：已知集合，，若，則實數的值為多少？

解析：根據集合交的定義，由反推確定集合中的元素，再求解參數。

解：因為，所以中元素必有一個為1，且中元素必不為2，因此討論以下兩種情況：

若，則集合，滿足題設；

若，求得參數為虛數，不滿足題設；

故所求參數的值為1。

小結：與集合有關的問題的解題技巧，首先要確定集合的代表元素；其次看代表元素滿足的條件，最后根據條件列式求解參數或者確定集合個數，特別需要注意的是檢驗集合中元素的互異性。

2考點二：集合間的基本關系

考點解析：（1）理解集合之間包含與相等的含義，能識別給定集合的子集；（2）在具體的情境中，了解全集與空集的含義。

典型例題解析：

例3：已知，，若則實數的取值范圍為多少？

解析：首先求出集合，再由集合間的關系，列出不等式，最后求解實數的取值范圍。

解：由題意得到

又由于，并且，顯然小于0。

此時，，要使得，則有，即

故實數的取值范圍為。

例4：集合共有多少個真子集？

解析：此題需要準確理解何為集合的真子集，還要注意子集與真子集的區別。

并且有性質，若集合中有個元素，則該集合的子集個數為。

解：顯然原集合中的元素個數為3個，

則根據性質，子集的個數為，

除掉集合本身，則真子集個數為。

故集合共有個真子集。

小結：（1）判定集合間關系的方法有三種，其一，一一列舉觀察；其二，集合中元素特征法，首先確定集合中的元素是什么，弄清楚集合中元素的特征，再判斷集合間的關系；其三，數形結合法，利用數軸或者韋恩圖求解。（2）子集與真子集的關系，集合A的子集不一定是其真子集；但集合的真子集一定是其子集。

3考點三：集合的基本運算

考點解析：（1）理解兩個集合的并集與交集的含義，能求兩個簡單集合的交集和并集；（2）理解在給定集合中的一個子集的補集的含義，能求給定子集的補集；（3）能使用韋恩圖表達集合間的關系及運算。

典型例題解析：

例5：已知集合，全集，則為多少？

解析：首先要根據不等式確定集合；再根據定義域的限定確定集合，最后進行集合間的基本運算。

解：由，

即集合，

由得，解得或，

所以集合，

故

故。

例6：已知集合，若，則的值為多少？

解析：此題考查集合間的基本運算，要根據集合間的并運算，分別確定集合A、B中的元素；再求解參數。

解：由和

得到，可得

故的值為。

小結：集合的交、并、補運算需要注意以下三方面；一是確定集合中元素的形式，即分辨清是數集、點集還是圖形集等；二是對集合的化簡，要先對集合中的性質進行化簡，再進行相關運算；三是要善于借助數軸和韋恩圖等工具，運用數形結合的方法進行求解。

參考文獻

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