限定條件下的齊次分式最值問題求解策略

周 威

(湖北省恩施州教育科學研究院 445000)

齊次分式的最值問題一直是活躍在選擇題、填空題中的熱點問題.所謂齊次分式就是分子分母次數相同的分式.這類問題通常以二元或三元的一次、二次齊次分式為主,解法往往因題而異，但函數與方程思想、化歸轉化思想、數形結合思想和不等式放縮是解決此類問題的基本思想、方法，本文針對二元、三元齊次分式最值求解主要的、常用策略進行了總結歸納，供讀者參考.

一、幾何意義策略

圖1

評注這里幾何意義策略通常要考慮分式在斜率、距離等方面的內涵，這是數形結合思想的一個具體應用，一般以直線與圓的位置關系為考查對象.

二、一元二次方程策略

評注此類條件中一般有二次式，需將二元分式中的“一元”用“另一元”來代換，從而聯立已知條件得到一個一元二次方程，再利用韋達定理中根與系數的關系求解，是函數方程思想的一種體現.

三、整體代換策略

評注利用整體代換策略的情況，條件中一般有等于常數的等式，代換時要注意“齊次”原則.

四、向量策略

圖2

評注此題解法較多，也可以采用斜率策略進行求解，但都需要用到分類討論思想，比較麻煩，而轉化為向量的數量積，創新性的解決了問題，避免了復雜的討論.

五、比值換元策略

1.利用基本不等式

評注在出現多元變量時，先通過比值換元進行“降元”處理減少變量；在利用基本不等式時要時刻注意“一正、二定、三相等”的約束條件及相關的“拼、湊”技巧.

2.利用非線性規劃

圖3

解由題意，f′(x)=3ax2+2bx+c，即對x∈R,f′(x)≥0恒成立，則

評注對于三元齊次分式的最值，通常采用不等式放縮，通過比值換元由三元變二元的“降元”處理，利用非線性規劃知識解決問題.

3.利用函數值域

評注依然是三元齊次分式的最值，通過比值換元利用函數的最值性質求解.進一步可以看出，比值換元是“降元”的一種通用策略.

以上求解策略是二元或三元齊次分式最值問題解題常用方法，從而體現考查學生的直觀想象、數學運算、邏輯推理等核心素養.在復習備考時，做題肯定是必不可少，“會做一道題，掌握一類題”也一直是我們數學練習中追求的目標，因此對解題策略的分析及通性通法的總結和應用，對題型、知識點、思想方法的提煉，是從“四基”角度落實核心素養的基本途徑.