利用幾何變換巧求圖形面積

洪倩

幾何變換包括旋轉變換、平移變換、軸對稱變換等變換形式，通過幾何變化巧求圖形面積，往往能達到化難為易的效果。

一、旋轉變換

在平面內，一個圖形繞著一個定點旋轉一定的角度得到另一個圖形的變化叫做旋轉。在利用幾何變換求面積的幾種變換中，旋轉變換最常用。求幾何面積的諸多問題中，如果用常規解法往往過程繁瑣，甚至會出現學生現有知識無法解答的情況。這個時候我們就需要另辟蹊徑，借助旋轉變換進行解答。

例1 如圖1，△ABC是直角三角形，四邊形ACDE、FGBA都是正方形，AB=3cm，BC=4cm，求△AEF的面積。

解析：

在這里，很多人在一開始看到此類題目，首先會利用勾股定理算出AC的長度，然后無從下手，或者構造三角形，利用三角形全等來解決。

如果我們利用旋轉變換的思想，就可以化簡為易。

將△ABC逆時針旋轉90°，使AC和AE重合，得到△AME

（因為∠EAC=∠FAB=90°，所以∠EAF+∠BAC=180°，F、A、M在同一條直線上）

S△EFA=S△EAM=3×4÷2=6cm2

例2 如圖3，在直角三角形中有一個正方形，已知BD=10cm，DC=7cm，求陰影部分面積。

解析：

將三角形CED繞D點逆時針旋轉90°。（如圖4）

使得E與F重合，則C點落到線段AB與G點，陰影部分面積轉化為Rt△BGD的面積

所以陰影部分面積為：10×7÷2=35cm2

二、平移變換

在平面內，將一個圖形上的所有點都按照某個直線方向做相同距離的移動，這樣的圖形運動叫做圖形的平移運動。平移是幾何變換的一種，利用平移對圖形中有關部分進行變換，將其余部分保持不變，為題目所求變換，化不利條件為有利條件，巧求圖形面積。

例3 如圖5，六邊行ABCDEF中，AB=ED， AF=CD， BC=EF， 且有AB//ED， AF//CD， BC//EF， 對角線FD垂直于BD，已知FD=24cm，BD=18cm，求六邊行ABCDEF的面積是多少平方厘米？

例題解析：

將△BCD平移，使得CD與AF重合，將△DEF平移，使得ED與AB重合，這樣EF、BC都重合到圖中的AG上，組成了一個長方形BGFD（如圖6），它的面積與原六邊形的面積相等，即為：24×18=432cm2

三、對稱變換

如果一個圖形沿著一條線對折后兩部分完全重合，這樣的圖形叫做軸對稱圖形。對稱變換也是幾何變換的一種，利用圖形對稱進行變換，巧求幾何面積。

例4 如圖7，直角梯形ABCD中，AD//BC， AB垂直于BC， 四邊形DEFC是菱形， AD=3cm， AB=4cm，求陰影部分面積。

例題解析：

將△ADE關于AD對稱翻轉至△ADC（如圖8）

（四邊形DECF是菱形，即翻轉后DE與DC重合，得到△ADC）

S陰影=3×4÷2=6cm2

在利用幾何變換求面積時，并不需要把整個圖形進行變換，只要找到圖形間的隱蔽關系，把圖形的有關部分進行變換，其余部分保持不變，使之成為簡單易算的特殊圖形，這就是利用幾何變換解題的基本途徑。在這個過程中考察的不僅僅是計算能力，更多的是觀察、操作、想象能力，通過觀察匯聚有利條件，化簡為易，迅速破解。

【參考文獻】

[1]黃曉杭.“華杯賽”幾何題中求面積的常用方法[J]中學數學研究，2014（8）：34-36.

[2]高小山.求解幾何約束問題的幾何變法[J]中國科學，2001（4）：182-192.

[3]蕭振綱.幾何變換與幾何證題[M].哈爾濱：哈爾濱工業大學出版社，2010：2.

[4]中華人民共和國教育部制定，義務教育數學課程標準（2011年版）[M].北京：北京師范大學出版社，2012.