大跨度混凝土樓板的自振頻率分析

范 康，陳軍武

(中國有色金屬工業西安勘察設計研究院，陜西西安 710055)

基于現代結構理論的發展和人們居住要求的提升，大跨度混凝土樓板在新建的民用建筑中較為普遍的出現。大跨度樓板可以使房屋功能劃分更加自由，更加符合精細化設計。為了保證房間內人員的感官需求和建筑經濟性，通常樓層高度被嚴格控制。采用次梁劃分樓板難以滿足要求，大跨度混凝土樓板成為一種選擇。

混凝土樓板設計采用以概率論為基礎的極限狀態設計方法，包括承載能力極限狀態和正常使用極限狀態。而樓板舒適度問題在大跨度樓板設計中顯得尤為重要，甚至起控制作用。在設計開始時必須確定振動源、振動傳播路徑(質量、剛度、阻尼)等因素和人們對于振動可接受的范圍。民用建筑較多出現的振動源，如住宅內人的行、走、跳躍和健身器械的振動，公共建筑中清掃設備的振動，水平運輸設備的振動等，在設計開始時就需要對這些問題仔細考慮[1]。

樓板的自振頻率是結構的固有特性，大跨度混凝土樓板的振動主要表現為一階豎向振動，當樓板自振頻率較低，并與人的各種類型的活動頻率比較接近時，容易引起共振，會使人感到不舒服和不安全[2][3]。本文基于板殼振動理論和已有的研究成果，結合SAP2000有限元分析軟件對大跨度混凝土樓板自振頻率的分析比較，可為大跨度混凝土樓板設計提供參考。

1 板殼振動理論及自振頻率計算

樓板振動的關鍵參數主要是樓板的固有頻率和相應的峰值加速度，樓板豎向自振頻率屬于結構的固有屬性，豎向振動也是一種彈性體振動。由于樓板厚度一般遠遠小于其自身尺寸，可采用彈性薄板振動理論來分析樓板的自振頻率。

計算方法是建立在薄板振動基本微分方程的基礎上，研究薄板的固有振動問題；是考慮封閉的不同邊界條件下，均勻厚度的矩形板的第一模態振型固有頻率公式簡化方法。本文主要以四邊簡支大跨度混凝土樓板為研究對象。

四邊簡支矩形板固有頻率可按式(1)、式(2)計算[4]：

(1)

(2)

式中：頻率系數λ與樓板邊界條件及長寬比a/b有關，與板的材料常數無關，可按表1查出。

板的抗彎剛度D可按式(3)計算：

(3)

式中：E為材料彈性模量；ν為材料泊松比；h為板厚。

表1 四邊簡支矩形板頻率系數λ值

研究表明，造成大多數振動問題的主要因素是共振，在人類的日常中，活動的頻率主要介于2～3 Hz[4][5]。因此，設計中控制樓板的頻率，避免樓板固有頻率與人的活動頻率相近，從而達到舒適度要求。

關于自振頻率的控制要求，國內外已提出了一些具體要求。我國GB 50010-2010《混凝土結構設計規范》中要求住宅和公寓不低于5 Hz，辦公樓和旅館不宜低于4 Hz，大跨度公共建筑不宜低于3 Hz。加拿大國家建筑規范(NBC) 要求樓板自振頻率不低于6 Hz[6]。其他類似的一些研究和要求均有一定的差異，設計中主要考慮在滿足現有國家標準的基礎上，對具體的設計采用更加合理的控制要求。

2 混凝土樓板自振頻率計算與分析

2.1 基于板殼振動理論的簡化計算

計算樓板采用C35混凝土，彈性模量E=3.15×104N/mm2，混凝土泊松比ν=0.2，鋼筋混凝土的密度ρ=25 kN/m3。

(4)

將上述參數代入式(4)、式(1)，可以得到：

當樓板尺寸為6 m×6 m時，f=0.028 3h，h為樓板厚度(mm)。

當樓板尺寸為9 m×6 m時，f=0.020 4h，h為樓板厚度(mm)。

當樓板尺寸為9 m×9 m時，f=0.012 6h，h為樓板厚度(mm)。

根據式(1)、式(4)及上述結果，三種尺寸規格的混凝土樓板的自振頻率計算結果詳見表2。

表2 基于板殼振動理論計算的樓板頻率f Hz

2.2 采用SAP2000有限元分析軟件對樓板頻率的分析

采用SAP2000有限元分析軟件對6 m×6 m，9 m×6 m，9 m×9 m三種模型進行自振頻率分析，材料參數同上，分別對不同厚度的樓板進行模態分析。研究結果表明，人行荷載激勵下，樓蓋結構第1振型的振動分量起控制作用，高階振型的影響并不顯著[1]。分析結果見表3。

表3 基于SAP2000有限元分析的樓板頻率f Hz

2.3 樓板厚度對自振頻率的影響

結合表2和表3的結果，可以得到不同跨度樓板振動頻率f與樓板厚度h之間的變化關系圖，如圖1所示。由圖1可以得出：

(1)對于同一跨度樓板，基于板殼振動理論所計算的樓板自振頻率f與樓板厚度h基本呈線性關系，隨著板厚的增加，自振頻率也不斷增大。同時隨著樓板跨度的增大，線性比例降低，即隨著樓板跨度的增大，增加板厚對樓板自振頻率的正面影響不斷降低。

圖1 不同跨度樓板振動頻率f與板厚h的關系

(2)通過SAP2000有限元分析軟件對三種模型的分析來看，其結果與板殼振動理論計算的結果基本一致，誤差在5.5 %以內，樓板自振頻率f與樓板厚度h也基本呈線性關系。板殼振動理論在研究分析薄板的固有振動頻率方面較為合理。

(3)樓板長寬比a/b對樓板自振頻率f有明顯影響，其影響主要反應在頻率系數λ，見表1。樓板長寬比為a/b的矩形樓板自振頻率介于跨度分別為a、b的方板之間。

3 結束語

基于板殼振動理論，采用彈性薄板振動理論來分析樓板的固有頻率，結合SAP2000分析軟件對不同跨度樓板自振特性的對比分析，可以得出這是一種較為合理的方法。在設計前期可以幫助設計人員選用合理板厚及結構方案。

樓板固有振動頻率隨著板厚的增加也隨之增大，基本呈線性關系。隨著樓板跨度的增大，板厚對固有頻率的影響減弱。考慮不同使用功能，樓板自振頻率的控制要求也不同，需要綜合考慮結構方案。