基于改進的JC法求解結構可靠度指標

明澤文，單德山，傅 杰

(西南交通大學土木工程學院，四川成都 610031)

為了對實際工程結構進行可靠度分析研究，各國學者相繼提出了中心點法、JC法、映射變換法、近似概率極限狀態設計法等多種計算方法，但是目前使用最為廣泛還是JC法。JC法由Rackwitz和Fiessler[1]等提出，并已經被國際安全度聯合委員會(JCSS)所推薦。從二十世紀初至今，JC法已經逐步推廣到我國橋梁、建筑、巖土、港口和水利等各個領域的結構可靠度分析中。

JC法的特點是能夠考慮非正態分布的隨機變量，其計算過程較為簡單，在滿足一般工程精度的條件下，能夠對可靠度指標β進行近似計算，而且還可以得到滿足極限狀態方程的“驗算點”設計值[2]。然而在實際工程的可靠度分析中，JC法經常會出現迭代不收斂、收斂速度慢的情況，其大規模的應用推廣具有一定的局限性。因此，本文將對JC法的基本計算原理進行分析，總結并找出影響其收斂性的原因，并提出適合的數學方法對其進行改進，使得改進之后的JC法具有更強的收斂性，能夠更好的應用于實際工程結構的可靠度分析和研究中。

1 JC法的基本原理

在工程結構的可靠度分析中，永久荷載一般為正態分布，但是諸如截面抗力、風壓、雪荷載、樓面活荷載等，一般服從其它類型的分布(如極值I型等)。因此，在使用JC法求解可靠度指標時，往往第一步就是要進行隨機變量的當量正態化[3]，也即將非正態隨機變量當量化為正態隨機變量。

1.1 隨機變量的當量正態化

一般情況下，結構的極限狀態方程是由多個相互獨立的隨機變量X1,X2,…,Xn組成，如式( 1 )所示：

Z=gX(X1,X2,…,Xn)=0

(1)

由上述的兩個當量正態化條件，可以得到以下兩個重要公式[4]：

(2)

(3)

式中：φ為標準正態分布函數，φ為標準正態分布的概率密度函數，φ-1為標準正態分布函數的反函數，uYi和σYi為正態分布隨機標量Yi的均值和標準差。經過當量正態化之后，式(1)也隨之轉化為：

Z=gY(Y1,Y2,…,Yn)=0

(4)

1.2 可靠度指標的求解

在當量正態化的基礎上，可靠度指標β可由以下三個方程聯合求解得到[5]：

(5)

(6)

(7)

2 基于拉格朗日乘子法對JC法進行改進

2.1 JC法存在的問題

2.2 可靠度指標β的幾何意義

令：Hi=(Yi-uYi)/σYi，則Hi符合標準正態分布N(0,1)，由式(5)可以得到：

(8)

于是，由上式可以得到：

(9)

很明顯，式(9)表示的是在標準正態隨機變量Hi空間里面的法線式超平面方程，法線就是極限狀態曲面上設計驗算點(在Y空間里面就是點P*)到標準正態化空間中原點O的連線。其方向余弦為cosθHi，長度為β。因此，可靠度指標β等于標準正態化空間中坐標原點到極限狀態曲面的最短距離。從而求解β的關鍵在于如何在失效曲面上找到一個點，使它到坐標原點的距離最短。

2.3 基于拉格朗日乘子法對JC法進行改進

由上一小節得出的可靠度指標的幾何意義，可以發現，求解可靠度指標β相當于求解如下所示的最優化問題：

(10)

在方程組式(10)中，Hi為標準正態分布隨機變量，其可由不服從標準正態分布的隨機變量Xi按照1.1小節所述進行當量正態化和標準正態化得到。gH(h1,h2,…,hn)=0是極限狀態方程(損傷狀態曲面)在標準正態化空間中的表達式。

下面根據拉格朗日乘子法[6]對方程組(10)進行最優化求解。首先構造一個如下所示的拉格朗日函數k(h)：

(11 )

在函數k(h)中，λ為拉格朗日乘子。要使得最優化問題式(10)取最優解，那么函數k(h)必須取極小值，則下面n+1個方程必須同時成立：

(12)

對于不同結構的不同損傷模式，方程組式(12)可能是線性的，也可能是非線性的。則我們完全可以根據數值分析[7]的方法求解出上面的n+1元方程組的解，也即標準正態化空間中極限狀態曲面上距坐標原點距離最短的點H*：

H*={h1*,h2*,…,hn*}T

(13)

則可靠度指標為：

(14)

3 算例分析

在針對某鐵路簡支梁橋進行抗震性能評估時，已知其支座構件發生輕微損傷[8]的極限狀態方程為：

式中：X1和X2均服從對數正態分布，其均值和標準差隨著水平向地震動PGA(單位：g)的大小變化而變化，具體見表 1。

表1 隨機變量Xi統計參數

求不同地震動PGA水平對應的支座可靠度指標β。

按照2.3小節所述方法，首先通過當量正態化將隨機變量X1和X2轉換到服從正態分布的隨機變量Y1和Y2。由1.1小節可以求得Y1和Y2的均值和標準差見表 2。

表2 隨機變量Yi統計參數表

通過標準正態化：

Hi=(Yi-uYi)/σYi

表3 改進的JC法計算結果表

表4 JC法計算結果表

4 結論

傳統的JC法在求解可靠度指標的時候容易出現迭代不收斂、收斂速度過慢等問題。因此，本文通過研究可靠度指標β在標準正態化空間中的幾何意義的基礎上，結合拉格朗日乘子法建立最優化數學模型，提出了一種求解可靠度指標的改進的JC法。并通過實際工程算例進行驗證，算例分析結果表明：本文提出的改進的JC法能夠很好地克服傳統JC法迭代不收斂、收斂速度過慢的問題，而且兼顧了計算方法的精度和效率，具有一定的優越性，可以推廣到實際的工程應用中。