循概念課一般規律促深度學習真實發生

鐘鳴 陳鋒

一、教學目標

理解反比例函數的概念；

能根據實際問題中的條件確定反比例函數的表達式；

能判斷一個給定函數是否為反比例函數。

二、重點難點

重點：通過反比例函數概念形成的過程理解反比例函數的概念。

難點：在對比和聯想中領會反比例函數的內涵和外延。

三、教法分析

在對一類例子的概括和抽象中，相互啟發和補充是必要的；在對一類例子的辨析和判斷中，獨立思考和積極嘗試是必要的。因此，本節課的教法采用啟發式探究法和合作式討論法。

四、教學過程

導入：同學們好，清明假期，我回了趟老家，我的老家是距離無錫400km的徐州睢寧。

1.概念感悟

例1：從無錫到睢寧大概400km，如果平均速度是100km/h，那么只要4個小時就能到達。

問題1：填填表格。

問題2：在這個變化過程中，有幾個量？常量是什么？變量是什么？

問題3：v和t滿足怎樣的關系式？

例2：我們村組織60人參加植樹活動，計劃植樹480棵，2h可以完成任務。

問題1：填填表格。

問題2：在這個變化過程中，有幾個量？常量是什么？變量是什么？

問題3：人數n和完成時間t滿足怎樣的關系式？

師：在這兩個例題中，兩個數量之間的關系有何共同點呢？

生：……

師：很好，發現共性是概括的基礎。這樣的兩個變量是一種什么關系呢？

生：一個在變大，一個在變小。

師：一個量變大，另一個量也變大，叫做什么關系？一個量變大，另一個量變小，叫什么關系？

生：正比例，反比例。

概念呈現：如果用x和y表示兩個相關聯的量，用k表示它們的比值，正比例關系可以用這個式子表示：（一定）。

如果用x和y表示兩個相關聯的量，用k表示它們的積，反比例關系可以用這個式子表示：（一定）。

追問1：你能分別用含v、n的代數式表示t嗎？

追問2：從這兩個表達式可以看出，當v的值確定的時候，t的值怎樣？當n確定的時候呢？

追問3：t是v的函數嗎？t是n的函數嗎？

概念呈現：一般地，如果在一個變化過程中有兩個變量x、y，對于x的每個取值，變量y都有唯一確定的值與它對應，那么我們稱y是x的函數，x是自變量。

設計意圖：函數的概念較抽象，再加上相隔時間較長，學生回憶起來較困難。本設計通過一個具體的例子，引導學生感受函數的本質特征（兩個變量、互相聯系、單值對應），為學生提供回憶的線索，激活學生的回憶，喚醒學生的理解。

師：這兩個函數是我們學過的函數嗎？你認為它應該叫什么名字？

生：……

師：你的答案很正確，我們今天的學習對象就是反比例函數。類比學習一次函數的經歷，你認為本章我們將怎樣來研究反比例函數？

設計意圖：引導學生思考知識的發展，將知識的發生、發展貫通起來，形成對整章學習內容的整體性了解。初中階段的函數學習，就是在“變量說”的基礎上，用一以貫之的研究方法，從概念、圖形與性質、應用三個方面去研究。

2.對比觀察

用函數關系式表示下列例題中變量之間的關系。

例3：老師出發前，汽車的油箱中有50升油，行駛中平均每千米耗油量為0.1升，油箱中剩余的油量Q（升）隨行駛路程x（千米）的變化而變化。

例4：現在油價為每升6.72元，加油費用y（元）隨加油量x（升）的變化而變化。

例5：面積為24的10個矩形貼在直角坐標系中（直角坐標系中每個小正方形的邊長為1），矩形紙片的一個頂點與原點重合，相鄰兩邊分別在x軸、y軸上，在x軸上的邊長為x，在y軸上的邊長為y，如右圖所示。矩形邊長如下表所示。y隨x的變化而變化。

例6：實數m與n的積為-200，m隨n的變化而變化。

例7：正方形的邊長為x（cm），面積y（cm2）隨x的變化而變化。

問題1：你能給這七個函數關系式（ ____ 、 ____ 、 ____ 、 ____ 、____ 、____ ）分分類嗎？說說你的理由。

問題2：一次函數的一般式是什么？正比例函數的一般式是什么？你能給這些新的函數寫個一般式嗎？

問題3：請觀察這個新的函數的一般式，從形式上來看有什么特征？還能寫成什么樣的等式？

問題4：你能類比一次函數的定義，說說什么是反比例函數嗎？

定義：形如的函數叫作反比例函數，其中x是自變量，y是x的函數。

設計意圖：概念建立的標志是用詞來標示和記載，對概念的理解最終要回到對概念的標示詞的理解上來，理解它的來龍去脈，搞清概念的本質特征。

總結：初中階段我們從函數的角度深入研究成反比例關系的兩個變量：從成正比例的量到正比例函數，從成反比例的量到反比例函數。

3.概念鞏固

例8：寫出下列問題中兩個變量之間的函數表達式，并判斷它們是不是反比例函數。

（1）面積為100cm2的三角形，邊長y（cm）隨該邊上的高x （cm）的變化而變化。

（2）體積是100cm3的圓錐，高h（cm）隨底面積S（cm2）的變化而變化。

（3）你還能舉出哪些例子？

解后反思：①需要說明的是，實際問題中自變量的取值除了不能為0外，還有實際意義的限制。

②如何舉反比例函數的例子？

思考：①關于x的函數是反比例函數嗎？如果是，比例系數k是多少？如果不是，請說明為什么。

②y與（x+1）這個整體是不是反比例關系？為什么？

y1與（x+3）成正比例，你能寫出它們之間的關系式嗎？

y2與x2成反比例，你能寫出它們之間的關系式嗎？

4.小結升華

通過本節課的學習，你認為怎樣判斷函數是否為反比例函數？

反比例關系與反比例函數有何區別和聯系？

比較反比例函數與一次函數的聯系和區別。

五、設計說明

溫故知新。本節課的知識生長點為函數概念、比例關系，知識沖突點為新的形式與已知函數形式的沖突，延伸點為已有函數學習經歷的類比。本節課通過具體的例子感受函數，激活函數的回憶；通過例群的觀察比較，發現新函數的不同。

概念學習。本節課的概念學習包括概念建立、概念強化、概念應用和概念發展四個階段。其中本節課的概念建立，既有概念形成的方式，也有利用上位概念同化新的概念的方式。概念形成過程一般要經歷單例的初步感受、模糊認識，例群的合理分類、觀察對比（以便在“大量同類事物的不同例證中”發現共同的關鍵特征，發現新舊知識的異同關系），本質的概括提煉、語詞標示。概念同化過程一般要經歷復習回顧提供固定點，新舊對比明確異同，新舊聯系獲得同化。

正反強化。概念的核心是其內涵，反比例函數的本質是成反比例關系的函數。獲得對本質的認識，既需要在教學中提供學習內容的標準正例，還必須設計和提供豐富而又具有典型意義的非標準正例甚至反例，即本質的變式。本質與變式，不僅能夠使學生舉一反三，由本質想象出無窮的變式，實現遷移與應用；更重要的是，能使學生學會學習，即學會如何對學習對象進行深度加工，提升智慧水平。

總之，“將外在的學習內容轉化為內在的精神力量”是深度學習的永恒追求。遵循概念新課的一般規律，契合初中生學習的階段特點，以學定教、循序漸進，引導學生全身心經歷、體驗、探究、反思，促成學生高階認知的參與，深度學習才能真實發生。