面向加工精度的機床系統(tǒng)誤差建模與分析方法

黃 強，黃 棋，孫軍偉

(重慶理工大學， 重慶 400054)

機械產品的質量、性能以及可靠性與其零件的加工質量密切相關。技術的高速發(fā)展對零件的加工質量提出了更高的要求。當前，針對精度建模與分析的研究與應用，仍然主要將誤差作用效果停留在機床的最終執(zhí)行部件的相對位姿上，誤差源對加工精度的影響分析是間接和靜態(tài)的[1-5]。在表面粗糙度方面，由于復雜的切削加工機理，相關的分析和計算還停留在理論粗糙度計算公式上，研究工作亟待深入[6-10]。在實際加工中，所有的源誤差都是通過影響成形運動而影響零件的加工質量，工件的最終加工質量才應當是誤差建模與分析最終的關注目標。因此，直接研究和掌握系統(tǒng)源誤差對工件加工質量的作用效果及規(guī)律，能更有效地控制加工質量。基于這一思路，本文主要研究工藝系統(tǒng)源誤差與工件加工質量之間的建模與分析方法。

1 研究思路及方法

圖1為車削加工系統(tǒng)的示意圖，工件與刀具是加工系統(tǒng)的末端執(zhí)行部件。工件與刀具之間的特征(相對位姿、相對運動及其誤差)決定了被加工工件的特征(尺寸、形狀及其誤差等)。工藝系統(tǒng)的各項源誤差均會通過影響工件與刀具之間的特征而最終影響加工質量。所以，工藝系統(tǒng)誤差與加工質量之間的關系建模可以分為兩個部分：直接誤差模型和間接誤差模型。

1) 直接誤差模型

模型反映末端執(zhí)行部件(工件和刀具)的單元位姿誤差(Δα、Δβ、Δγ、Δx、Δy、Δz)與工件加工質量之間的映射關系，即采用數學建模與仿真加工的方式，將末端執(zhí)行部件(工件和刀具)的6個自由度誤差反映到虛擬加工表面上。通過對虛擬加工表面的誤差檢測與評定，實現(xiàn)源誤差到加工質量的映射。本文主要闡述該部分建模與分析方法。

2) 間接誤差模型

模型反映系統(tǒng)其他部件級誤差單元向末端執(zhí)行部件(工件和刀具)的傳遞關系。與直接誤差模型結合，就能將系統(tǒng)任意組成部分的誤差體現(xiàn)在虛擬加工表面上。該部分建模研究工作已于前期完成并另文發(fā)表[11]，本文不再贅述。

圖1 車削加工系統(tǒng)示意圖

2 面向加工精度的系統(tǒng)誤差建模

2.1 機床通用誤差模型的建立

圖2為機床結構示意圖。利用多體系統(tǒng)運動學，在多體系統(tǒng)中建立廣義坐標系，將圖示機床抽象成多體系統(tǒng)，得到如圖3所示的多體系統(tǒng)拓撲圖。刀具與工件之間的串行部件鏈為：工件-主軸-主軸箱-床身-Z向導軌-中托板-X向導軌-小托板-刀架-刀具。

1.刀具；2.刀架；3.小托板；4.X向導軌；5.中托板；6.Z向導軌；7.床身；8.主軸箱9.主軸；10.工件

1.刀具；2.刀架；3.小托板；4.X向導軌；5.中托板；6.Z向導軌；7.床身；8.主軸箱9.主軸；10.工件

機床末端執(zhí)行部件運動學模型如圖4所示，各部件之間的關聯(lián)性用低序列陣列來描述，利用齊次特征描述矩陣對廣義坐標系中各部件之間的位姿、運動的變換[12]。機床工藝系統(tǒng)各部件相對位姿、運動及誤差之間的綜合作用結果最終反映到執(zhí)行部件的相對位姿、運動及誤差上，進而影響工件的加工質量。在多體系統(tǒng)中，對機床各部件設置局部坐標系，各個部件之間的相對位姿、運動及誤差的關系用其6個自由度方向的變動特征矩陣來表示，Tijs(M)為相鄰部件i和j體間理想平移運動特征矩陣，Tijs(R)為體間理想旋轉運動特征矩陣，Tijp為部件相對位姿的特征變換矩陣，Tijs為相鄰部件的理想運動特征矩陣。

圖4 刀具和工件運動學模型

(1)

(2)

(3)

(4)

式中(1)～(4)中：取運算符c=cos，s=sin，其中j=i+1，坐標系j相對于i在x、y、z方向上的相對位置用xijp、yijp、zijp表示；坐標系j相對于i在x、y、z方向上的直線運動量用xijs、yijs、zijs表示；α、β、γ表示i、j坐標系的x、y、z軸之間的夾角或角位移。

在實際的機械加工中，各個部件存在一定的相對位姿誤差和相對運動誤差，通過機床成形函數，利用變分法導出零件表面上點的位姿誤差表達式，從而計算零件的理論表面、實際加工表面、加工精度等。機床運動鏈中，任意兩相鄰部件在相對運動中產生的6個自由度方向的誤差，為實際運動誤差。以z軸為例，有沿x軸平動和繞x軸轉動兩種基本運動，產生的運動誤差分別為Δαijsx、Δβijsx、Δγijsx、Δxijsx、Δyijsx、Δzijsx。角誤差和線誤差引起的綜合變換矩陣為ΔTijsx(R)、ΔTijsx(M)。

誤差Δαijsx、Δβijsx、Δγijsx、Δxijsx、Δyijsx、Δzijsx引起的綜合變換矩陣為：

同理，可得到沿Y、Z軸平動，以及繞X、Y、Z軸轉動的誤差特征矩陣，可以用以下統(tǒng)一形式來表示，式中w=x,y,z,α,β,γ。

在機械加工成形系統(tǒng)中，給各個單元建立相應的正交笛卡爾坐標系O-xjyjzj(j=0,1,2,…,n)，工件所在坐標系O-xwywzw，刀具所在坐標系O-xtytzt，床身所在坐標系O-x0y0z0，刀具成形點Pt在坐標系O-xtytzt中的坐標為：

刀具成形點Pt在工件坐標系內的坐標變換矩陣為

pw=TPt

(10)

刀具主切削刃矩陣為：

刀具副切削刃矩陣為：

2.2 虛擬工件的生成

以上述相對位姿、運動及其誤差關系為基礎，設置具體機床各部件的相對位姿、運動及誤差特征矩陣，以及各項加工參數，如刀具主、副切削的矩陣、刀尖圓弧半徑、主軸轉速、進給量等，利用Matlab建模計算并仿真機床的加工過程，即可得到該工況下的虛擬加工工件。為下一步評定虛擬工件的尺寸精度、位置精度、形狀精度以及表面粗糙度提供基礎。

以車削加工為例，相關的參數設置如下：毛坯工件直徑為20.4 mm，主軸轉速為600 r/min，進給量0.1 mm/r，刀尖圓弧半徑0.5 mm，背吃刀量0.2 mm，6個自由度的誤差矩陣均為單位矩陣(無誤差狀態(tài))，得到理想的虛擬車削工件如圖5、6所示。

圖5 虛擬加工的理想車削圓柱表面

圖6 虛擬工件表面放大后的加工殘留高度

為6個自由度的誤差矩陣分別賦值，即可得到新的虛擬加工表面，類似于圖5、6，但不同之處在于：此時的虛擬加工表面是帶有誤差的，即與理想表面存在偏差，這一偏差即對應源誤差的作用效果。

2.3 虛擬加工質量的評定

源誤差作用效果已經通過計算仿真體現(xiàn)在虛擬加工表面上，通過對該表面的虛擬測量并與理想要素相比較，即可評定被加工表面的尺寸誤差、形狀誤差(圓柱度誤差和圓度誤差等)以及表面粗糙度。由于虛擬加工表面上的所有點均為數字化點，其特征點的信息提取較實物測量更為高效，虛擬評定中必須遵循與實物誤差評定相同的國家標準。

2.3.1 表面輪廓數據提取

在無誤差情況下，刀具切削工件形成理想表面。當背吃刀量(切削深度)較小時，將刀具切削工件的輪廓軌跡看作是刀尖圓弧隨刀具進給的疊加，工件殘留表面整齊無誤差，如圖7(a)所示。當存在誤差時，如刀具振動等導致刀具切削工件時背吃刀量不斷發(fā)生變化，相鄰刀尖圓弧軌跡的交點高低發(fā)生波動，造成工件實際輪廓表面出現(xiàn)高低起伏現(xiàn)象，如7(b)所示，從而影響工件的加工質量。

圖7 工件表面輪廓

根據圖7(b)帶誤差的工件表面輪廓可知:刀具的切削深度不斷發(fā)生變化，刀尖圓弧軌跡相交進行布爾運算后可得完整的工件表面形貌。在機床誤差數學模型中，預先設定實際參與切削的刀尖圓弧段，在帶誤差的加工條件下，相鄰刀尖圓弧交點高低隨刀具切削深度的變化發(fā)生波動，刀具軌跡方程包含了相鄰刀尖圓弧相交的部分，在提取工件表面特征數據時，應當去除此部分輪廓。任取圓柱表面一縱截面為例，設刀尖圓弧圓心分別為O1，O2，…，On，根據切削原理及刀尖圓弧軌跡幾何關系，可確定圓心坐標On=(xi,yi)。相鄰圓弧之間的交點可以直接調用Matlab工具箱中函數circcirc，調用格式如下：

[x,y]=circcirc(xi,yi,r,xi+1,yi+1,r)

(13)

由于存在誤差，刀具切削深度會不斷變化，根據circcirc函數求得的相鄰圓弧交點有2個，但是實際工件表面輪廓相鄰刀尖圓弧的交點只有1個，因此需通過數學方法確定實際交點。通過求解βi和θi即可確定，當下一個圓心高于上一個圓心時，圓心距Li的計算公式為：

當下一個圓心低于上一個圓心時，θi的計算公式為：

根據以上分析計算，可確定相鄰圓弧實際交點，通過數據重排即可生成工件的實際表面輪廓，為后續(xù)工件加工質量的評定提供了基礎。

2.3.2 加工質量評定方法

1) 加工誤差評定理論與方法

加工質量評定包括加工精度評定和表面質量評定，各個評定項目及方法均有對應的國家標準可依，數字化加工表面的評定也必須遵循與實物誤差評定相同的國家標準。以下以車削端面的平面度誤差為例闡述其方法。

實際平面相對理想平面的變動量為平面度誤差，等于包容實際平面的兩理想平面之間的最小距離，理想平面的位置(即評定結果)需滿足最小條件。本文采用精確度高、評估效果較好的最小區(qū)域法評定平面度誤差。其數學模型的空間平面標準方程為

Ax+By+Cz+D=0

(17)

采樣點xi、yi、zi到理想平面的法向距離di為：

最小包容區(qū)域平面方程為：

F(A,B,C,D)=[di]max-[di]min

(20)

用最小區(qū)域法評定平面度，可以利用Matlab優(yōu)化工具箱中的優(yōu)化函數求解Fmin的值以及參數A、B、C、D。

利用Matlab優(yōu)化工具箱的無約束條件非線性極小值優(yōu)化函數(fminsearch)和多變量函數的最小化函數(fminunc)均可求解。根據式(19)求解實測平面各點到平面的距離di，利用最小包容區(qū)域平面方程構造其數學模型minF(A、B、C、D)，設定初始迭代值x0=[0,0,-1,10]，調用平面度子函數：

[x,fval,exitflag,output]=fminsearch(@pmd,x0)

(21)

2) 評定方法示例

機床主軸帶動工件旋轉，縱溜板固定，刀具隨橫溜板進給切削端面，實現(xiàn)圓柱端面加工。設圓柱端面誤差來源于刀具相對工件端面z方向位姿的變動，設置動態(tài)單元誤差Δz=[-0.1,0.1]mm，輸入機床誤差模型中，運行程序，得到如圖8所示端面。

圖8 虛擬工件圓柱端面

提取端面特征點坐標如表1所示，儲存端面x、y、z數據分別為xzb_dm.mat、yzb_dm.mat、zzb_dm.mat。

輸入實際端面特征數據到平面度評定模型(funl_pmd)中，設定初始迭代值x0=[0,0,-1,10]，調用最優(yōu)化函數fminsearch：

[x,fval,exitflag,output]=

fminsearch(@funl_pmd,x0)

(22)

運行程序，結果如下：

x=0.003 4 0.009 2 -0.099 2 0.004 7

fval=0.197 7

exitflag=1

output=

iterations:140

funcCount:246

algorithm:[1x33char]

message:[1x194char]

計算結果顯示，Matlab采用牛頓法優(yōu)化迭代140次，目標函數在x處取得最優(yōu)值。其數學模型空間平面參數值分別為A=0.003 4，B=0.009 2，C=0.099 2，D=0.004 7，最小區(qū)域平面的平面度誤差為0.199 7。

2.4 模型的正確性驗證

選擇虛擬加工后的表面粗糙度作為模型的正確性檢驗對象。

第1步，設置利用模型進行虛擬加工的切削條件：毛坯工件直徑為20.4mm，主軸轉速為600r/min，進給量為0.1mm/r，刀尖圓弧半徑為0.5mm，背吃刀量為0.2mm，車刀主偏角為45°，副偏角為15°。利用Maylab建立的數學模型計算仿真出的理想狀態(tài)下零件表面輪廓如圖9所示(已經過高斯濾波處理)。通過虛擬測量及評定，該虛擬工件表面最大殘留高度為0.002 5mm，對應的Ra值為0.34，圓度誤差為0。

第2步，在相同切削條件下，使用理論表面粗糙度計算公式計算出工件的理論最大殘留高度為0.002 5mm，工件截面的最大包容圓直徑與最小包容圓直徑之差為8.9×10-15mm(幾乎為0)，與上述仿真加工及評定結果一致，證明所建加工仿真模型正確，滿足精度分析要求。

3 基于虛擬加工的誤差作用規(guī)律分析方法

3.1 分析內容及方法

從建模目的及方法上講，該模型可以分析工藝系統(tǒng)各個組成部分(單元)的誤差對加工質量的影響程度和規(guī)律，加工質量項目包括尺寸誤差、形位誤差以及表面粗糙度。既可以分析單一誤差源的作用規(guī)律，又可以分析多誤差源作用規(guī)律的疊加效應。

根據分析要求不同，有2種模型使用方法：第1種是單獨使用直接誤差模型。將2個最終執(zhí)行部件的相對誤差(Δx、Δy、Δz、Δα、Δβ、Δγ)作為誤差源，分析其對加工質量的影響程度及規(guī)律，主要為工藝系統(tǒng)設計及安裝調整提供依據。第2種是間接誤差模型與直接誤差模型的結合應用。這種應用在方法上分為兩步，首先利用間接誤差模型將機床各部件級誤差傳遞為2個最終執(zhí)行部件的相對誤差[11]，然后將誤差映射到虛擬加工表面上，最終得到原始誤差的作用規(guī)律，主要為機床的精度及剛度設計提供依據。

誤差作用規(guī)律分析的基本方法及步驟如下：

1) 選定被分析部件層誤差源，換算為6自由度誤差(Δx、Δy、Δz、Δα、Δβ、Δγ)，并轉換為誤差矩陣形式。

2) 利用間接誤差模型將誤差映射為最終執(zhí)行部件誤差。最終執(zhí)行部件誤差的作用規(guī)律分析省略此步驟。

3) 用直接誤差模型計算仿真出虛擬加工表面。

4) 對虛擬表面進行指定誤差項目的評定。

5) 誤差作用效果分析。

3.2 分析方法示例

此次的研究重點在于源誤差通過成形運動轉化為工件表面誤差的關系，故示例選取最終執(zhí)行部件的誤差作用規(guī)律分析作為分析方法示例。

車削加工的誤差敏感方向為徑向(x向)，為方便顯示，現(xiàn)設定車床導軌與主軸軸線之間存在一個線性變化的源誤差Δx，傳遞到刀具上的誤差為等值的Δx(傳遞計算過程略)，加工工況與前述模型正確性檢驗相同。在該誤差作用下，加工工件的誤差數據如表2所示。誤差作用規(guī)律如圖10所示。

表2 設定誤差Δx與工件表面加工質量

實際加工圓柱面時，刀具在Δx上的誤差會將直接導致直徑誤差和圓柱度誤差，而對圓度沒有影響。圖10顯示的Δx作用規(guī)律與這一事實完全相符，進一步說明了這里提出的建模與分析方法是正確的，可以應用于機床系統(tǒng)的誤差分析與研究，為機床設計和工藝改進提供依據。

圖10 源誤差Δx影響下的切削圓柱面加工質量變化規(guī)律

4 結論

1) 基于虛擬加工原理的機床系統(tǒng)誤差建模與分析方法，能實現(xiàn)加工系統(tǒng)源誤差到零件加工質量之間的映射，為面向加工精度的系統(tǒng)精度設計及誤差補償提供了基礎。

2) 面向加工精度的誤差建模與分析，采用直接誤差模型與間接誤差模型相結合的雙子誤差模型結構相對合理，可以根據不同的分析要求單獨或聯(lián)合使用2個子模型，提高分析效率。