關于多元復合函數的求導探索

郭 歡

(鄭州工程技術學院 信息工程學院,鄭州 450044)

高等數學是以函數為研究對象，函數的求導是高等數學中的一個重要概念，是學習微積分的必備知識。復合函數的求導在導數的運算中起著關鍵的作用，它是衡量導數學習是否扎實的一個重要指標，而多元復合函數的求導問題是以復合函數和偏導數為基礎，它是微積分的重要內容之一，其求法也要求學生掌握。

1 預備知識

1.1 多元函數的定義

設D是Rn中的一個非空點集，f是一個對應法則，若使得對于D內的每一個點P(x1,x2,…,xn),都能唯一地確定一個實數y，則稱對應法則f為定義在D上的一個n元函數，記為

y=f(x1,x2,…,xn),(x1,x2,…,xn)∈D

或者y=f(P),P∈D。

其中，稱(x1,x2,…,xn)為自變量，稱y為因變量，點集D稱為函數的定義域，記為D(f)，而f(x1,x2,…,xn)稱為對應于(x1,x2,…,xn)函數值，全體函數值的集合稱為函數的值域，記為R(f)。[1]27

特別的，當n=1時，即得一元函數，通常記為

y=f(x),x∈D,D?R。

當n=2時，即得二元函數，通常記為

z=f(x,y),(x,y)∈D,D?R2。

二元及二元以上的函數統稱為多元函數。

1.2 一元復合函數

已知函數y=f(u),u∈D(f),y∈R(f),u=g(x),x∈D(g)，u∈R(g),若D(f)∩R(g)≠φ，那么就稱y=f[g(x)],x∈{x|g(x)∈D(f)}為由函數y=f(x)經u=g(x)復合而成的函數，其中x稱為自變量，y稱為因變量，u稱為中間變量，集合{x|g(x)∈D(f)}稱為函數y=f[g(x)]的定義域。[1]]262

1.3 二元復合函數

設函數z=f(u,v)是變量u,v的函數，而u,v又是變量x,y的函數，u=φ(x,y)，v=Ψ(x,y)，因而z=f[φ(x,y),Ψ(x,y)]是x,y的復合函數。[1]272

對于復合函數的求導問題，一元復合函數的求導，由于復合的過程形式靈活、情形多樣，對于大一的學生來說，不易掌握，顯得抽象，容易出錯。在教學過程中，首先，要學生學會正確判斷出復合函數，從形式上來看，即基本初等函數x的位置不再是x，而是關于x的代數式[2]。其次，能夠正確分析出復合函數的復合過程，掌握基本初等函數是分析復合函數的基礎，通過認真觀察復合函數的形式，恰當引入一個或多個中間變量，由外層向內層將一個復合函數分解為若干個簡單的基本初等函數，這也是復合函數求導的關鍵。最后，應用復合函數的求導法則，即鏈式法則進行求導即可。

對于多元復合函數的求導，一直以來都是教學中的重點與難點。對于高校的大一學生來說，這部分內容顯得相對抽象、比較難學，學生求導時經常出錯。[3]教師在課堂教學中可以將一元函數的復合函數的求導所用的鏈式法則，拓展到多元復合函數上，并結合因變量與自變量之間的關系結構圖來解析其求導法則。這種借助關系圖來求解復合函數導數的方法，會使多元復合函數的求導法則相對簡單一些，就能使學生對這部分的內容理解的更透徹，掌握的更牢固，進而真正掌握多元復合函數的求導問題。

2 復合函數的求導法則

2.1 一元復合函數的求導

鏈式法則如圖1表示：

圖1 鏈式法則

該定理可以推廣到任意有限次復合的情形。在應用此鏈式法則對復合函數求導時，注意要從最外層起，由外層向內層，層層相套，注意銜接，首尾相連。前面對哪個變量求導，后面就需要乘以這個變量對下一個變量的導數，直到最后一個變量為自變量為止[4]；而引入中間變量是為了簡化復合函數的求導，最后求導之后還要將其還原為x的表達式；當熟練掌握此復合函數求導方法之后，就可以將中間變量省略，那么求導過程將會顯得簡單一些。

2.2 多元復合函數的求導

關于多元復合函數的求導，下面主要討論二元函數的復合函數的求導。

設z=f(u,v)在(u,v)處可微，函數u=φ(x,y)，v=Ψ(x,y)，在點(x,y)處的偏導數都存在，則復合函z=f[φ(x,y),Ψ(x,y)]在點(x,y)處的偏導數都存在，且有如下鏈式法則[5]：

以上這個法則可以推廣到多于兩個自變量的情形。我們可以將其因變量與自變量之間的關系圖表示為

分析：變量關系圖為

由以上五個變量z,u,v,x,y之間的關系圖可知，z是u,v的二元函數，而u是x,y的二元函數，v是x,y的二元函數。從變量z到x共有兩個分支，z→u→x與z→v→x，每一分支的內容，用乘法相連，分叉的部分即兩個分支的部分用加號相連；從變量z到y也有兩個分支，z→u→y與z→v→y，每一分支的內容，用乘法相連，分叉的部分即兩個分支的部分用加號相連。因z對u,v分叉，u對x,y分叉，v對x,y分叉，故z分別對u,v、u分別對x,y以及v分別對x,y的導數都用?表示。[6]

解：設u=x-y,v=x+y則z=eusinv

∴由復合函數的鏈式法則知：

eusinv·1+eucosv·1=

ex-ysin(x+y)+ex-ycos(x+y)，

eusinv·(-1)+eucosv·1=

-ex-ysin(x+y)+ex-ycos(x+y)，

2.3 三種特殊情形的求解

以下三種特殊情形也可以通過鏈式法則來求解。

2.3.1 一元函數復合多元函數

設二元函數z=f(u),u=φ(x,y)，則復合函數z=f[φ(x,y)]用鏈式法則求導數得

分析：變量關系圖為

由以上四個變量z,u,x,y之間的關系圖可知，z是u的一元函數，而u的x,y二元函數。從變量z到x僅有一個分支，z→u→x該分支的內容，用乘法相連；從變量z到y僅有一個分支，z→u→y該分支的內容，用乘法相連。因u對x,y分叉，故u對x,y的導數都用?表示，z對u未分叉即單路，故z對u的導數都用d表示。

解：由題意知

∴由復合函數的鏈式法則知

2.3.2 多元函數復合一元函數

設二元函數z=f(u,v)，u=φ(t),v=Ψ(t)，則復合函數z=f([φ(t),Ψ(t)]用鏈式法則求導數得

分析：變量關系圖為

由以上四個變量z,u,v,t之間的關系圖可知，z是u,v的二元函數，而u是t的一元函數，v是t的一元函數。從變量z到t共有兩個分支，z→u→t，z→v→t，每一分支的內容，都用乘法相連，分叉的部分即兩個分支的部分用加號相連。因z對u,v分叉，故z分別對u,v的導數都用?表示，u對t未分叉，v對t未分叉，故u對t、v對t的導數都用d表示。

∴由復合函數的鏈式法則知

2.3.3 多元函數復合一元函數和多元函數

設二元函數z=f(x,v)，u=φ(x,y)，則復合函數z=f[x,φ(x,y)]用鏈式法則求導數得

分析：變量關系圖為

由以上四個變量z,u,x,y之間的關系圖可知，z是x,u的二元函數，而u是x,y的二元函數。從變量z到x共有兩個分支，z→x，z→u→x，每一分支的內容，都用乘法相連，分叉的部分即兩個分支的部分用加號相連；從變量z到y只有一個分支，z→u→y，該分支的內容，都用乘法相連。因z對x,u分叉，u對x,y分叉，故z分別對x,u和u對x,y的導數都用?表示。

∴由復合函數的鏈式法則知

通過分析以上幾種情形的復合函數的求導以及多元復合函數求導的鏈式法則，結合變量關系圖，可以總結為如下規律：分段用乘，分叉用加，單路全導，叉路偏導。這樣的通俗易懂的口訣，幫助學生理清復合函數的求導的實質，抽象出來它的本質，學生通過正確使用此口訣來求解多元復合函數的導數問題。

3 結語

復合函數的求導方法是導數中一個重要內容，多元復合函數求導的鏈式法則是高等數學中非常重要的解決方法。教師要在教學過程中仍需不斷地修改教學內容，改變教學方法，探索到更好的方法讓學生對此部分理解的深刻、學習的透徹，一方面學生要正確理解其鏈式法則，搞清此法則的含義及正確使用求導符號；另一方面要多加練習，多思考，孰能生巧，進而真正掌握多元復合函數的求導問題。