“帶余除法”教學的實踐與反思

江蘇南京市雨花外國語小學（210012）

現行各版數學教材，都把“帶余除法”的教學規劃為2課時，第1課時主攻意義滲透，第2課時才真正觸及算法技能。什么是帶余除法？為何規定余數比除數小？研討這些問題，有利于教師準確把握相關概念，并在教學中適時滲透思想方法，從而有效開展相關教學。

一、正確定義，揭示帶余除法

許多人望文生義，認為“帶余除法”就是“無法整除有剩余的除法”，這樣的理解并不全面，因為余數是有取值范圍的。那么“帶余除法”的代數定義是什么呢？如果整數m＞n＞0，p＞0,且p×n＜m＜（p+1）×n，m-p×n=t，就說n除m，商為p，余數為t，并記作m=p×n+t。從定義中可知，p為最大商數，且必有t＜n。換言之，帶余除法定義中已經暗含了各參數的取值范圍。與帶余除法關系緊密的還有整除的概念。設m、n是整數，且n≠0。那么，必然存在唯一的一對整數p與t，滿足m=p×n+t，0≤t＜n。此外，n能整除m的充要條件是t=0。

依照上述理論，若整數m=p×n+t（0＜t＜n），當t不為0時，就說m不能被n整除，在此情況下推測p和t的演算過程，就是帶余除法。當t=0時，就成了整除。由此可見，整除與帶余除法是討論同種關系式的兩種情況，是一體兩面。把整除視為余數為0的除法是謬誤的。之所以規定余數小于除數，一般采用反證法來驗證，以分發實物為例，“如果余數比除數大了就還能再分”。其實，這樣的解釋站不住腳。如“平安夜某水果店做促銷活動，拿出23個蘋果免費分送給當晚21：00后進入店鋪的顧客，每人5個，先到先得，送完為止，問可以分給多少人？

圖1

以上的每一種分法，都可能出現在現實情境中，因為當晚21：00后進入該商店的人數是不可控的。每種可能都有對應的圖例和算式，都符合“商×除數+余數＝被除數”的規律。而“能不能繼續再分”則需要根據客觀狀況而定，無法作為判斷余數應比除數小的結論。為了避免出現一式多解的亂象，確保結果的唯一性，故而規定余數必須小于除數。

二、步步為營，突出余數本質

[教學片段1 1]

問題1：有20枚雞蛋，每5枚裝1袋，可以裝幾袋？

生1：20÷5=4（袋）。

師：算式的意義是什么？

生1：20枚雞蛋，每次拿出5枚作為一組，一共可以分4組。

問題2：同樣多的雞蛋，如果每6枚裝一袋，最多可以裝幾袋？

生2：最多可以裝3袋，余下2枚。（如圖2）

圖2

師：能列式嗎？

生2：20 ÷ 6=3（袋）。

生3：20÷ 6=3（袋）……2枚。

生4：20 ÷ 6=3（袋）余 2（枚）。

師：到底怎么表示才正確？

生5：第一種列式沒將余下的2枚反映出來，是錯誤的。

師：后兩種列式你更傾向于哪一種？

生5：第三種列式多一個“余”字非常必要，沒這個字表意不完整。

師：在數學中，“余”字可用專用符號“……”表示。如20÷6=3（袋）……2（枚），簡潔明了。

師：誰能把這個算式中的所有數字表示的意義重新說一遍。

圈、點、數的活動，正是借助直觀圖形幫助學生理解帶余除法，余下的點數也揭示了余數的意義。理解帶余除法的意義，既要能分別掌握算式中每個數字指代的意義，還要能從整體上理解算式的意義。

三、深入探究，發現余數規律

[教學片段2 2]

師：如果問題1中的雞蛋數分別為41、42、43和46、47、48，分畫的結果會如何？請分別寫出對應的算式。

師：你能根據規律續寫下一個算式嗎？

生6：第一組：44÷5=8……4；第二組：49÷5=9……4

師：為什么？

生6：除數不變，總數加1后，余數相應增加1。

師：如果被除數繼續加1，余數會怎樣？

生7：余數會增加到5。

師：真的嗎？

生8：錯的！45除以5商數為9，剛好分完，余數消失。

師：寫出這個算式并思考余數為何消失。

生9：余數達到5，可以再分一個除數出來。（課件演示二次分配過程）

師：照上面的規律繼續列式，多列幾組，看看余數有什么變化。

生10：余數在變化，1、2、3、4，1、2、3、4，循環往復，周而復始。但永遠不會超過4。

通過以上探究發現，余數永遠小于除數，帶余除法的定義中明確有這一條。有的教師喜歡在毫無關聯的隨機出現的算式中，探究余數與除數的大小關系，導致學生思維受阻或者始終無法抓住問題核心。實在沒辦法，教師只好直接灌輸“余數小于除數”的概念。對此學生也是丈二和尚摸不著頭腦，不知為什么非要將余數和除數拿來對比。上述教學中，所有的式子呈現高度的相關性和清晰的變化規律：除數相同，被除數漸次遞增，商也相同，著重突出余數的周期變化。余數必定小于除數的規律也蘊含在這個變化中。

四、逆向驗證，揭示余數屬性

雖然通過同一類除法算式中的余數漸變規律能夠確認余數比除數小的合理性和必然性，但是，這還不足以說明余數比除數小是帶余除法的基本屬性。要揭示它的基本屬性，需要用到逆運算。

除法與乘法互為逆運算，帶余除法的逆運算怎么書寫呢？是乘加混合算式。理論上，一個乘加混合算式調換除數源和商數源的位置，就可以反推出兩個帶余除法的算式，如5×6+4=34，就可以改寫成“34÷5=6……4”和“34÷6=5……4”兩個帶余除式，但這只限于加數（余數源）同時小于兩個因數（除數源和商數源）。一旦脫離這個條件，有的乘加算式就只能改寫成一個帶余除式，這還是由于余數要小于除數造成的。如把“5×7+6=41”反推成帶余除式，只存在“41÷7=5……6”一種情況，而“41÷5=7……6”則不存在。通過逆運算，可把乘加混合運算與帶余除式有機融通，使學生體會兩者之間的交互證明關系。溝通二者的關聯，不僅可以促進學生對帶余除法的理解，而且為總結歸納“商×除數+余數=被除數”的推論打好基礎。

通過以上探究發現，無論在哪種觀點下，余數永遠要小于除數。這一點實際上就是帶余除法的基本屬性。單純在算式表征上進行不完全歸納，推定兩者的關系在理論上是站不住腳的。若不明就里，學生只是被教師牽著鼻子走，為師命是從，那么這種強記必不長久和穩固，一旦遇到變式就會引起思維混亂，甚至動搖原有的正確認知。

一個數學規定的出臺，背后一定有著深刻的道理。數學中的所有定則，都是邏輯發展的必然產物。如果孤立地看待某些規定，或許很難理解，但是聯系知識前后的來龍去脈，問題就會迎刃而解。