探尋數字背后意蘊 發展整體結構思維
——以“用數對確定位置”教學為例

江蘇海安縣南莫鎮中心小學（226681）

結構化思維對幫助學生理解和掌握數學知識、完善學習認知結構，將課程目標細化、串聯、落實在具體的教學情境中，以及提高學生的分析、認知和表達等能力，形成核心思考能力有著重大影響。“用數對確定位置”的教學目的是，讓學生會用數對表示某個具體位置,探尋這“冰冷”規定背后的意蘊；讓學生構建知識間的關聯，體會數學思想方法的曼妙，培養合情推理的能力，學會透過簡潔看結構。如果數字背后沒有聯系，知識就是零散的；如果數字背后沒有思想，規定就是冰冷的；如果數字背后沒有方法，學習只能是一種沉重的負擔；如果簡潔背后沒有結構,簡潔只不過是一種形式。下面就以蘇教版教材四年級下冊“用數對確定位置”的教學為例，談談如何根據數字探尋規則背后的意蘊，培養學生數學結構化思維。

一、數字背后有聯系，打通聯系成整體

數學知識體系是按照知識之間的內部聯系組成的邏輯結構系統，教師在教學時應從整體結構入手,尋求內容間的內在聯系,把握這種聯系所構成的知識體系,并把這種體系遷移到學生的認知結構中，使知識系統化、條理化、結構化，從而促進學生結構化思維的發展。

例如，教學四年級下冊“用數對確定位置”時，教師串通了小學各年級間有關確定位置之間的聯系，引領學生回顧一、二年級學習過的“確定位置”，依托已有經驗，提煉出數字背后的規則，明晰只要弄清前后左右和上下之間的先后順序，制定統一的規則，就能準確確定位置，激發學生猜想今天學習的“確定位置”又有怎樣的規則，提高學生探究規則的興趣，讓學生體會確定位置的學習方法的一致性和簡潔性。

【教學片段1】

師：我們在一年級就學過確定位置，在圖1中，你知道數字“2”是哪一位同學的位置嗎？

圖1

生1：不能確定，因為如果從前面數，穿粉色衣服的女孩排第2個；如果從后面數，穿橙色衣服的男孩排第2個。

生2：僅僅說是第幾個，沒有規定從哪邊數，無法確定。

師：真了不起，你們從這個簡單的數字背后讀出了“在一條線上確定位置時，必須先規定數的方向”。

師：瞧，這是我們二年級學過的確定位置（如圖2），和一年級的有什么不同?

圖2

生3：一年級學的只有1排，現在不只1排了，必須要說第幾排第幾個才能確定位置。

生4：剛才是在一條線上確定位置，現在是在一個平面上確定位置，要用2個數字。

師：是的，在一個平面上確定物體的位置，得用兩個數字來確定。第“2”和第“3”是按怎樣的規則數的？

生5：“2”表示排，“3”表示個。

生6：“排”是從前往后，或是從下往上數的；“個”是從左往右數的。

師：是的，無論在一條線上，還是一個平面上，確定物體位置時都得先確定規則，否則大家表述位置的結果都不相同。這節課我們繼續探尋確定位置中數字背后的規定。

這樣的教學，將教學起點前移，讓知識間的結構聯系不僅植根在教師心中，同時也建構在學生的知識體系中，讓學生建構新知有了基架。

【教學片段2】

師：通過今天的學習，你覺得確定一個物體的位置需要幾個數？這其中的規定是什么？

生1：我覺得確定一個物體的位置可能需要1個數，也可能需要2個數。當只有1行或只有1列時，就是在一條線上，只需要1個數；如果在一個面上就需要2個數，可以用數對表示，前一個數表示列，后一個數表示行。

生2：如果只有1行時，也可以看成在一個平面上用數對表示出來，只是這個數對的后一個數總是1。

師：真了不起，你打通了線和平面之間的關系。如果只有1行或1列時，簡單的確定位置的方法只要1個數。看來確定一個位置，有時需要1個數，有時需要2個數，那么有時可能需要……數對的世界很奇妙，歡迎大家去探秘。

這課前、課中和課后的靈活“打通”，讓一節課往前走一步，向后拉一步，讓學生體會到數學學習的整體性，起到既見樹木又見林的功效。

二、數字背后有思想，領悟思想促發展

1.數點對應是本質

無論是一維空間還是二維空間,數與點之間的一一對應性(即一個數或數對對應著空間中的一個點，反之，空間中的每個點也只能用唯一的數或數對表示）是用數對確定位置的本質。例如,數對與座位也是一一對應關系，在用數對表示自己的座位時，如果某個人的位置是固定的,則描述這個人位置的方法應該是一樣的。這個“一一對應性”讓學生體會到“數學規定”雖然是人為規定,但有它的必要性和合理性,大家都必須認可并遵守這個合理的數學規定,否則一切就混亂了。

【教學片段3】

師:剛才大家用數對表示了自己的座位，也讓小伙伴們根據數對猜到了自己的朋友。想一想，我們班級中會有兩個人的座位是用同樣的數對表示的嗎?

生1:不會。如果是同樣的數對，那這樣一個座位上得坐兩個人了。

生2：每個數對只能對應著一個人，每個人也只能有一個座位，這樣才很有秩序，不會亂。

在教學由一個象限向其余三個方向延展時，教師引導學生通過想象“在二維方向標（也就是直角坐標系）中，每個點都可以用數對表示嗎？”歸納數對的“數學規定”，激發學生繼續探究知識的欲望。

【教學片段4】

師：按這個思路繼續思考，這是學校的東北角（圖略），還有東南角，如果往下畫，還有西南角，能不能用數對表示這些點的位置？往左呢?你想說什么？

生1:這個好像我們二年級學過的方向標，分為東、南、西、北四個區域，那每個區域中的點的位置應該都可以用數對表示。

師：看來，對于方格圖，我們想畫多大就能畫多大。請大家閉眼想象一下，這個方格圖上任何一點的位置是不是都可以用數對來表示？反過來，任何一個數對是不是都可以在這個方格圖上找到一個點和它對應？這很像將來咱們要學習到的直角坐標系。

學生根據已有的經驗，猜想這個平面中的每個點應該都可以用一個數對表示，雖不明白具體用什么數對表示，但一一對應的思想已經初步形成。

2.數形結合巧滲透

數學是研究數量關系和空間形式的一門學科，而數形結合是一種重要的數學思想方法，其實“數對”就是中學所說的坐標，而“列”和“行”就是直角坐標系的雛形，它們架起了數與形的橋梁，為學生今后學習函數知識進行了有機的鋪墊。教學中，教師將人物圖抽象為點子圖,再將點子圖抽象為方格圖,滲透“數形結合”思想,孕伏“坐標”知識，引導學生經歷知識的形成過程,發展學生的空間觀念。

【教學片段5】

師：如果我們把每個同學都看成一個點，閉上眼睛想象一下，這幅圖（圖略）變成什么樣了？

師（出示圖3）：睜開眼睛看看，這樣的一個平面圖和你想的一樣嗎？你還能在點子圖中找到數對（4,2）所表示的點嗎？

圖3

圖4

師（出示圖4）:數對（2,4）和（4,2）都用的是數字2和4，它們所表示的點相同嗎？為什么？

……

師：斜著看，數對（2,2）和（4,4）,有什么特點？在這幅圖中你還能找到這樣的數對嗎？把這些點連起來會得到什么圖形，你有什么新發現?

……

師（出示圖5）:橫著看這些數對，你發現了什么，豎著看呢？

……

師：沒想到這簡單的數對背后居然還有這么多門道。

圖5

三、數字背后有推理，合情推理提能力

數學，無論是它自身的產生與發展,還是對于它的認知與應用,推理無不伴隨始終。因此，培養學生的數學推理能力是當今數學教育的一種核心價值取向。數學課程標準特別指出:應將推理能力的發展貫穿于學生整個數學學習過程中。而在數學學習過程中,猜想和推理是一對孿生兄弟,隨時都會同時出現在一個問題中。“用數對確定位置”這節課中，數對確定位置的方法是一種規則，如果采用“告訴”的方式教學，就會使學生的學習處于“接受”狀態。如果讓學生經歷用“符號”來表示第幾行和第幾列，并討論不同方法的優劣這一再創造的過程，對于熟悉了“先行后列”數法的學生來說是有一定困難的。因此，教師要引導學生從猜想規律開始，逐步根據提示進行推理，提高學生自主學習和研究的熱情，促進學生推理能力的提升。

【教學片段6】

師：為了更好地學習這節課，老師請來了很多孩子,這里有老師的女兒(如圖6)，猜猜看，是哪一個?

圖6

生1:從遺傳學的角度看，我覺得是第4排第2個，因為很漂亮。

生2：聽說成績很棒，我覺得是從上往下數的第1行的第5個。

生3：只要是女孩都有可能，這樣的猜測好像“大海撈針”，得有點提示。

師：行。在數學上，她在這幅圖中的位置表示為（4，2），把數字4和2用逗號隔開，外面加括號表示一個整體，可以讀作數對4、2，也可以直接讀成4、2。現在，你能找到她的位置嗎?

生4：還是不能確定究竟是哪一個，但范圍比剛才縮小了。

生5：我們已經鎖定了4個目標了（如圖7）。

圖7

師：老師只有一個孩子，而且她的位置在數學上的確可以用數對(4,2)來表示，為什么你們找出了四個孩子呢?在小組里交流你的想法。

小組1:這里的4和2，哪一個是指豎排，哪一個是指橫排，沒說清楚。豎排時，究竟是從左往右數，還是從右往左數，也沒說清。橫排時，究竟是從上往下數，還是從下往上數，也沒說。

小組2：這數字背后的規則不清楚。

師：看來，僅僅知道數對還不夠，我們還得了解這個數對背后隱藏的一系列規則。

師：老師的孩子的好朋友，在圖中可用數對(2,1)表示。現在你能確定哪一個才是老師的孩子嗎?同桌兩人交流自己思考的過程。

（學生在交流中明晰列和行的確定以及數對(4,2)背后的規則）

學生在經歷了兩次猜想后，逐步縮小答案的范圍，教師再根據給定孩子的位置和數對，引導學生通過推理，自主探究，得出數字背后的規則。在這樣的過程中，學生的推理能力得到了進一步的培養，而這種“以假設為導向——如果她朋友的位置是（2,1），以事實為依據，以邏輯為紐帶”，學生根據給定數進行遷移、思考、推理的思考問題的方式，正是結構化思考問題的重要方式。

四、數字背后有簡潔，透過簡潔見結構

教學“用數對確定位置”后，很多教師都引導學生體會用數對表示位置的簡潔性，感受數學的簡潔美。但這里有比“簡潔”更重要的是這種表示方法的統一性和結構性:所有人都這樣表示，有了這種表示的統一性,就不會產生分歧,便于溝通和交流。如果這里的簡潔只是書寫上的簡單，而從學生思維的角度思考,特別是對初學者來說，這其實并不簡潔，反而是更復雜，因為學生已有的思維習慣是先行后列，而數對表示的數的第一個是列而不是行。

因此,筆者在引導學生總結用數對確定位置優越性時，讓學生不僅能體會到簡潔性，更懂得這種表示的統一性和結構性價值要遠遠大于簡潔性,因為這種表示(小學階段用在一維、二維、三維空間)還可以進一步遷移到球面空間……

綜上，探尋隱藏在數字背后規定的數學意蘊和價值，不能局限于表面規定的接受，而要讓學生知道數字背后有聯系，明白數字背后有思想（重視思想促發展），經歷數字背后有推理（合情推理提能力），理解數字背后有簡潔（透過簡潔見結構），真正讓學生觸摸數學的本質，從而展現數學知識的魅力，讓學生在有意義的學習中發展結構化思維，并讓其成為一種思考的自覺。然而，結構化思維的培養不是一蹴而就的，和吹拉彈唱相似，也是需要每天練習的，既然如此，教師就應該根據教學內容，科學地引導學生每天練習，做學生結構化思維的引路人，讓他們在每天的練習中習得方法，學會有條理地分析和利用結構化思維解決問題。