韓信“點”兵

李觀銀

傳說漢高祖劉邦曾問大將韓信：“你看我能帶多少兵？”韓信斜了劉邦一眼，說：“你頂多能帶十萬兵吧！”

漢高祖心中有三分不悅，說：“那你呢？”心想：你竟敢小看我！

韓信傲氣十足地說：“我呀，當然是多多益善嘍！”

劉邦心中又添了三分不高興，勉強說：“將軍如此了不起，我很佩服.現在我有一個小小的問題向將軍請教，憑將軍的才能，答起來一定不費吹灰之力.”

韓信滿不在乎地說：“可以，可以.”

劉邦狡黠地一笑，叫來一小隊士兵隔墻站隊（不足100人），劉邦發令：“每三人站成一排.”

隊伍站好后，小隊長進來報告：“最后一排只有兩人.”

劉邦又傳令：“每五人站成一排.”

小隊長報告：“最后一排只有三人.”

劉邦再傳令：“每七人站成一排.”

小隊長報告：“最后一排只有兩人.”

劉邦轉臉問韓信：“敢問將軍，這隊士兵有多少人？”

韓信脫口而出：“二十三人.”

劉邦大驚，心中的不快已增至十分，心想：此人本事太大，我得想法找個借口把他殺掉，免生后患.于是劉邦佯裝笑臉夸了幾句，并問：“你是怎么知道的？”

韓信說：“臣幼得黃石公傳授《孫子算經》，算經中載有此題之算法，口訣是：三人同行七十稀，五樹梅花廿一枝，七子團圓月正半，除百零五便得知.”

劉邦出的這道題，用現代語言可這樣表述：一個正整數，被3除時余2，被5除時余3，被7除時余2，如果這個數不超過100，求這個數.

《孫子算經》中給出這類問題的解法：“三三數之剩二，則置一百四十；五五數之剩三，置六十三；七七數之剩二，置三十；并之得二百三十三，以二百一十減之，即得.凡三三數之剩一，則置七十；五五數之剩一，則置二十一；七七數之剩一，則置十五，一百六以上，以一百五減之，即得.”

用現代語言解釋這個解法就是：

首先找出能被5與7整除而被3除余1的數70，被3與7整除而被5除余1的數21，被3與5整除而被7除余1的數15.

所求數被3除余2，則取數70×2=140，140是被5與7整除而被3除余2的數.

所求數被5除余3，則取數21×3=63，63是被3與7整除而被5除余3的數.

所求數被7除余2，則取數15×2=30，30是被3與5整除而被7除余2 的數.

又因為140+63+30=233，由于63與30都能被3整除，故233與140這兩個數被3除的余數相同，都是余2.并且，233與63這兩個數被5除的余數相同，都是3.同理，233與30被7除的余數相同，都是2.所以，233是滿足題目要求的一個數.

而3、5、7的最小公倍數是105，故233加、減105的整數倍后被3、5、7除的余數不會變，從而所得的數都能滿足題目的要求.由于所求的一小隊士兵的人數不超過100，所以用233減去105的2倍得23，即是所求.

這個算法在我國有許多名稱，如“韓信點兵”“鬼谷算”“隔墻算”“剪管術”“神奇妙算”等，題目與解法都記載于我國古代重要的數學著作《孫子算經》中.宋朝的數學家秦九韶把這個問題推廣，并把解法稱之為“大衍求一術”.這個解法傳到西方后，被稱為“中國剩余定理”.而韓信，則最終被劉邦的妻子呂后誅殺于未央宮.

（作者單位：江蘇省句容市天王中學）