二次根式的“穿墻術(shù)”

周娟

有一則神話，講的是茅山道士有“穿墻之術(shù)”，該法術(shù)可以讓其視墻壁為空氣而隨意進(jìn)出.神話未必真實(shí)，但數(shù)學(xué)中的“穿墻術(shù)”卻真實(shí)存在，不妨一起來看一看.

去括號(hào)法則：-（a+b）=-a-b.這里我們可以認(rèn)為負(fù)號(hào)穿過了括號(hào)分別與a、b作用，讓每一項(xiàng)變成其相反數(shù).

負(fù)數(shù)的奇數(shù)次冪：（-a）2n+1=-a2n+1.由冪的定義，可知括號(hào)內(nèi)的符號(hào)可以隨意進(jìn)出括號(hào)，然而這一點(diǎn)對(duì)于偶數(shù)次冪卻不成立.

奇數(shù)次方根：[2n+1-a=-2n+1a].和上面類似，負(fù)號(hào)可以任意進(jìn)出根號(hào)，但對(duì)偶次方根不成立，因?yàn)樨?fù)數(shù)沒有偶數(shù)次方根.

以上是一些淺顯的例子，下面要說的是二次根式的“穿墻術(shù)”.

先看一些例子：[223=223]，[338=338]，[4415=4415]……不難發(fā)現(xiàn)，根號(hào)內(nèi)帶分?jǐn)?shù)的整數(shù)部分可以“鉆”到根號(hào)外面去，頗有趣味，然而這一點(diǎn)并非對(duì)任何數(shù)都成立，如[323=113≠323].

于是我們期望找出具有“穿墻術(shù)”的一般帶分?jǐn)?shù)的例子，即求這樣的帶分?jǐn)?shù)：[acb]，使得[a+cb=acb]，其中a、b、c都是正整數(shù)，而且b>c，b、c互質(zhì).根據(jù)條件，有[ab+cb=a2cb]，即ab+c=a2c，ab=c（a2-1），∵b>c，且b、c互質(zhì)，故a=c，b=a2-1.若記a=c=n，則b=n2-1，故滿足條件的分?jǐn)?shù)為n+[nn2-1]，且有[n+nn2-1=nnn2-1]（n≥2）.

可以發(fā)現(xiàn)，當(dāng)n取正整數(shù)時(shí)，這樣的帶分?jǐn)?shù)有無數(shù)個(gè)，我們?cè)谝话阋饬x上解決了二次根式的“穿墻術(shù)”問題.以上結(jié)果可以看作一個(gè)公式.

我們進(jìn)一步考慮一個(gè)類似的問題：形如[a-cb=acb]的二次根式應(yīng)該具有什么特征呢？由上式得[ab-cb=a2cb]，即ab-c=a2c，ab=c（a2+1），由于b、c互質(zhì)，b>c.故a=c，b=a2+1.若記a=c=n，則b=n2+1，因此具有以上性質(zhì)的二次根式具有以下形式：[n-nn2+1=nnn2+1]，其中n為正整數(shù).

文章開頭的故事里，有個(gè)年輕人向茅山道士學(xué)會(huì)了“穿墻術(shù)”，結(jié)果有一次忘了念口訣，在墻上碰得頭破血流.到這里，給我們的啟發(fā)是：做事情（尤其是做數(shù)學(xué)題）要言之有據(jù)，不可輕率行事，否則就會(huì)“碰到南墻”，這也是學(xué)習(xí)科學(xué)知識(shí)必備的素質(zhì)——嚴(yán)謹(jǐn).

（摘編作者單位：江蘇省句容市石獅中學(xué)）