解析二次根式中的四類常規問題

龔邦選

二次根式的性質及運算是中考的必考問題，其難度一般為容易或中等.下面就以近幾年部分中考題為例，和大家一起探討，希望為大家帶來一些思考和借鑒.

一、字母取值范圍的求解

例1（1）（2017·徐州）使[x-6]有意義的x的取值范圍是 .

（2）（2017·呼和浩特）使式子[11-2x]有意義的x的取值范圍是 .

（3）（2016·廣州）若代數式[xx-1]有意義，則實數x的取值范圍是 .

A.x≠1 B.x≥0

C.x>0 D.x≥0且x-1≠0

（4）（2017·綿陽）使代數式[1x+3]+[4-3x]有意義的整數x有（ ）.

A.5個 B.4個 C.3個 D.2個

【解】（1）根據題意可得x-6≥0，解得x≥6.

（2）根據題意可得1-2x>0，解得x<[12.]

（3）根據題意可得x≥0，x-1≠0，故選D.

（4）根據題意可得x+3>0，4-3x≥0，解得-3

【評析】統觀近幾年各市中考題，不難發現字母取值范圍的問題在中考中經常出現，而利用二次根式的定義、被開方數大于或等于零以及分式中分母不為零，可解決上述一類問題.

二、二次根式非負性的應用

例2（1）（2015·綿陽）[a+b+5]+[2a-b+1]=0，則（b-a）2015的值為（ ）.

A.-1 B.1 C.52015 D.-52015

（2）（2016·泰州）若實數a，b滿足[a+1]+4a2+4ab+b2=0，則ba的值為（ ）.

A.2 B.[12] C.-2 D.-[12]

（3）（2016·揚州一模）若y=[x-4+4-x2]

-2，則（x+y）y= .

【解】（1）因[a+b+5]≥0，[2a-b+1]≥0，而它們之和為0，則[a+b+5]=0，且[2a-b+1]=0，解得a=-2，b=-3，故（b-a）2015=

-1，故選A.

（2）根據題意得，[a+1]+（2a+b）2=0，則a=-1，b=2，故選B.

（3）根據題意得x-4≥0且4-x≥0，則x=4，y=-2，故（x+y）y=[14].

【評析】二次根式[a]（a≥0）表示a的算術平方根，所以[a]≥0這個性質也是非負數的算術平方根的性質，和絕對值、偶次方類似.對于二次根式非負性的應用，常見的是幾個非負數之和等于0，則每個非負數都等于0，這一性質在解題中的應用很廣泛.

三、[a2]與（[a]）2

例3（1）（2017·濟南）若（[a]）2=5，則a= ；若[a2]=5，則a= .

（2）（2016·南充）下列計算正確的是

（ ）.

A.[12]=2[3] B.[32]=[32]

C.[-x3]=x[-x] D.[x2]=x

【解】（1）因為（[a]）2=5，所以a=5；因為[a2]=5，所以a=±5.

（2）選項A，[12]=2[3]；選項B，[32]=[3×22×2][=62]；選項C，因為-x3≥0，所以x≤0，所以[-x3]=-x[-x]；選項D，需要對x的符號進行討論.故選A.

【評析】[a2]與（[a]）2是比較容易混淆的知識點.（[a]）2中a的取值范圍為a≥0，[a2]中a的取值范圍為任意實數.（[a]）2化簡結果為a，而[a2]化簡結果需要討論，若a≥0，則[a2]=a；若a<0，則[a2]=-a.解題中一定要注意，不能把它們混淆.

四、二次根式的計算與化簡

例4（1）（2017·南京）計算[12]+[8]×[6]的結果是 .

（2）（2015·南京）計算[5×153]的結果是 .

（3）（2016·上海）計算[12-13]-[38]+[2-3].

【解】（1）原式=2[3]+4[3]=6[3]；

（2）原式=[5]×[5]=5；

（3）原式=2[3]-[33]-2+2-[3]=[23][3].

【評析】二次根式的性質是二次根式計算和化簡的重要依據；二次根式的乘、除是二次根式性質的逆向運算；二次根式的加、減只對同類二次根式進行合并；二次根式的運算結果必須要化為最簡二次根式.這幾點同學們一定要注意哦！

（作者單位：江蘇省句容市后白中學）