生活中的反比例函數

張辰旭

函數是刻畫事物變化規律最有效、最有力的工具，函數思想貫穿于生活的每一方面.構建函數模型，是解決日常生活中實際問題最常用的手段.初中階段的反比例函數便是其中一個典型的模型.

財主和帽子

古時候，有一個貪婪的財主，拿了一塊上好的布料準備做一頂帽子.到了裁縫店，這位財主覺得這么好的布料做一頂帽子似乎浪費了，于是問裁縫：“這塊布可以做兩頂帽子嗎？”裁縫看了財主一眼，說：“可以.”財主見他回答得那么爽快，心想，這裁縫肯定從中占了些便宜，于是又問：“那做3頂帽子呢？”裁縫依然很爽快地說：“行！”這時，財主更加疑惑了，嘀咕著：“多好的一塊布啊！那我做4頂可以嗎？”“行！”裁縫仍然很快地回答.經過一番較量后，財主最后問：“那我想做10頂帽子可以嗎？”裁縫遲疑了一會兒，然后打量著財主，慢慢地說：“可以的.” 這時，財主才放心，他心想，這塊布料如果只做一頂帽子，那就便宜裁縫了，瞧，我說到10頂了吧，我還真聰明！嘿嘿……過了幾天，財主到了裁縫店取帽子，結果一看，頓時傻了眼：10頂帽子小得只能戴在手指頭上了！

每頂帽子的用布量×帽子數=布匹的總量，因為這塊布不變，所以如果帽子數多了，裁縫同樣可以去裁剪，只是每頂帽子相對就小了.通過這個故事，我們對反比例的概念就不難理解了.

商品買賣

某中學組織學生到商場參加社會實踐活動：參與某種品牌運動鞋的銷售工作.已知該運動鞋每雙進價為120元，商場為尋求合適的銷售價格進行了4天試銷，試銷情況如下所示：

[ 第1天 第2天 第3天 第4天 售價x（元/雙） 150 200 250 300 銷售量y（雙） 40 30 24 20 ]

觀察表中數據，x，y滿足什么函數關系？如果商場計劃每天的銷售利潤為3000元，則運動鞋單價應定為多少元？

我們由表中數據可以得出xy=6000，所以y=[6000x]，即y是x的反比例函數.如果商場計劃每天的銷售利潤為3000元，即（x-120）y=3000，把y=[6000x]代入，得x=240，經檢驗，x=240是所列方程的根，所以運動鞋單價應定為240元.

工業生產與反比例函數

環保局對某企業排污情況進行檢測，結果顯示：所排污水中硫化物的濃度超標，即硫化物的濃度超過最高允許的1.0mg/L.環保局要求該企業立即整改，并且在15天以內（含15天）排污達標.整改過程中，該企業所排污水中硫化物的濃度y（mg/L）與時間x（天）的變化規律如圖1所示，其中線段AB表示前3天的變化規律，從第3天起，所排污水中硫化物的濃度y與時間x成反比例關系.那么，整改過程中硫化物的濃度y與時間x的函數表達式是什么？該企業在15天以內是否能整改合格？

這里我們要分情況討論了.當0≤x≤3時，設線段AB對應的函數表達式為y=kx+b，把A（0，10），B（3，4）代入，便可得到y=-2x+10；當x>3時，設y=[mx]，把B（3，4）代入，得y=[12x].若該企業所排污水中硫化物的濃度在15天以內正好達到最高允許的1.0mg/L，則可令y=[12x=1]，得出x=12<15，故該企業能在15天以內整改合格.

利用反比例函數模型解決實際問題能夠鍛煉我們的“應用意識”，同時對我們分析問題和解決問題能力的培養也大有幫助.

（作者單位：江蘇省常州市武進區潘家初級中學）