中考中的反比例函數

葛春奎 潘曉花

一、一般的面積問題

在反比例函數y=[kx]（k≠0）圖像中，過雙曲線上任意一點引x軸、y軸垂線，所得矩形面積S=[k]或所得直角三角形面積S=[12][k].這是中考經常考查的一個知識點，體現了數形結合的思想.同學們做此類題一定要正確理解k的幾何意義.

【例1】（2016·張家界）如圖1，點P是反比例函數y=[kx]（x<0）圖像上的一點，PA垂直于y軸，垂足為點A，PB垂直于x軸，垂足為點B，若矩形PBOA的面積為6，則k的值為 .

【解析】因為矩形PBOA的面積為6，可得[k]=6，因為反比例函數y=[kx]（x<0）的圖像過第二象限，故k<0，答案為k=-6.

【例2】（2015·涼山州）以正方形ABCD兩條對角線的交點O為坐標原點，建立如圖2所示的平面直角坐標系，雙曲線y=[3x]經過點D，則正方形ABCD的面積是（ ）.

A.10 B.11 C.12 D.13

【解析】[14]S矩形ABCD=[k]=3，易得S矩形ABCD=4×3=12.或者[18]S矩形ABCD=[12][k]=[32]，易得S矩形ABCD=8×[32]=12.故選C.

【例3】（2016·漳州）如圖3，點A、B是雙曲線y=[6x]上的點，分別過點A、B作x軸和y軸的垂線段，若陰影部分面積為2，則空白部分的面積的和S1+S2為 .

【解析】∵S1+S陰影=[k]=6，S2+S陰影=[k]=6，

∴S1+S2+2S陰影=12，

∵S陰影=2，

∴S1+S2=12-4=8.故答案為8.

二、與幾何圖形相結合的面積問題

【例4】（2016·云南）位于第一象限的點E在反比例函數y=[kx]的圖像上，點F在x軸的正半軸上，O是坐標原點，若EO=EF，△EOF的面積等于2，則k=（ ）.

A.4 B.2 C.1 D.-2

【解析】因為EO=EF，△EOF的面積等于2，根據等腰三角形“三線合一”性質，可得[12]×2xy=2，解得xy=2，所以k=2.答案選B.

【點評】本題把反比例函數和等腰三角形結合在一起進行考查，沒有圖形.所以同學們首先要能夠準確畫出圖形，再根據反比例函數k的性質和等腰三角形性質求解.

三、雙反比例函數與幾何圖形相結合的面積問題

【例5】（2016·菏澤）反比例函數y=[ax]（a>0，a為常數）和y=[2x]在第一象限內的圖像如圖4所示.點M在y=[ax]的圖像上，MC⊥x軸于點C，交y=[2x]的圖像于點A；MD⊥y軸于點D，交y=[2x]的圖像于點B.當點M在y=[ax]的圖像上運動時，以下結論：①S△ODB=S△OCA；②四邊形OAMB的面積不變；③當點A是MC的中點時，則點B是MD的中點.其中正確的個數是（ ）.

A.0 B.1 C.2 D.3

【解析】①正確.A、B兩點都是y=[2x]圖像上的點，根據反比例函數k的幾何意義，可知S△ODB和S△OCA都等于[12][k]=1.

②正確.根據反比例函數k的幾何意義可知：S矩形OCMD=[k]=a，S四邊形OAMB=S矩形OCMD-S△ODB-S△OCA=a-2，所以不變.

③正確.如圖5，連接OM，點A是MC的中點，則S△OAM=S△OAC.

∵S△OAM+S△OAC=S△OCM，

∴S△OAM=S△OAC=[12]S△OCM，

∵S△ODM=S△OCM，S△ODB=S△OAC，

∴S△ODB=S△OBM=[12]S△ODM.

∴點B一定是MD的中點.故選D.

【點評】本題對反比例函數k的幾何意義的考查由淺入深，由單個反比例函數到雙反比例函數，同學們需要正確理解反比例函數k的幾何意義.

【例6】（2016·宿遷）如圖6，在平面直角坐標系中，一條直線與反比例函數y=[8x]（x>0）的圖像交于兩點A、B，與x軸交于點C，且點B是AC的中點，分別過兩點A、B作x軸的平行線，與反比例函數y=[2x]（x>0）的圖像交于兩點D、E，連接DE，則四邊形ABED的面積為 .

【解析】點A、B在反比例函數y=[8x]（x>0）的圖像上，故可以設點A的坐標為（m，[8m]），根據點B為AC的中點，且點C在x軸上，所以點B的坐標為（2m，[4m]）.

又因為AD、BE與x軸平行，且點D、E在反比例函數y=[2x]（x>0）的圖像上，易得點E的坐標為（[m2]，[4m]），點D的坐標為（[m4]，[8m]）.

∴S梯形ABED=[12]（BE+AD）h=[12]（2m-[m2]+m-[m4]）（[8m]-[4m]）=[92].

【點評】本題考查了反比例函數圖像上點的坐標特征、直角坐標系中點坐標與線段長度的轉化以及梯形的面積等，解題的關鍵是用參量m表示出點A、B、E、D的坐標.只要設出其中一個點的坐標，再用該點坐標所含的字母表示出其他點的坐標即可.

（作者單位：江蘇省常州市武進區遙觀初級中學）