反比例函數中的典型錯誤與分析

王麗琴

反比例函數是同學們學習的一個難點，是在一次函數后又一個新型函數.一些同學由于對反比例函數概念理解不到位，對性質把握不準確，在解題過程中常會出現以下6種常見錯誤：

一、忽視對函數概念的理解

【例1】下列函數關系式中：y=[43x]，y=[2-πx]，y=[3x]+1，y=[-1x2]，y=-2x，5xy=3是反比例函數的有 .

【錯解】y=[43x]，y=[2-πx]，y=[3x]+1，y=[-1x2]，5xy=3或y=[43x]，y=[2-πx]，y=[3x]+1，5xy=3.

【錯因】同學們會有以上兩種錯誤答案，主要原因是對反比例函數概念理解不透.一般地，形如y=[kx]（k為常數，k≠0）的函數稱為反比例函數.反比例函數通常有3種表達形式：y=[kx]，y=kx-1，xy=k.（上述3個式子中，k都為常數且k≠ 0）

【正解】y=[43x]，y=[2-πx]， 5xy=3.

二、忽視比例系數k≠0

【例2】若函數[y=m+1xm2+5m+3]是反比例函數，則m的值是 .

【錯解】∵函數[y=m+1xm2+5m+3]是反比例函數，∴m2+5m+3=-1，解得m=-4或m=-1.

【錯因】本題難度不大，主要考查同學們對反比例函數意義的理解.同學們要特別注意把反比例函數y=[kx]寫成負整數指數的形式：y=kx-1時，自變量指數為-1，仍然有k≠0這個必要條件.

【正解】由題意得[m2+5m+3=-1，m+1≠0.]解得[m=-4或m=-1，m≠-1.]從而得m=-4.

k≠0是反比例函數定義的重要組成部分，同學們一定不能忽略.

三、忽視不同函數的k不同

求函數的解析式一般用待定系數法，先把已知條件中自變量與函數的對應值代入解析式得方程，再解方程求出待定系數，最后把待定系數的值代入所設解析式，得出解析式.

【例3】已知y=y1-y2，y1與3x成反比例，y2與x-2成正比例，并且當x=3時，y=5；當x=1時，y=-1.求y與x之間的函數解析式.

【錯解】設y1=[k3x]，y2=k（x-2），k≠0.則y=y1-y2=[k3x]-k（x-2）.用待定系數法求解：當x=3時，y=5，代入得[k9-k3-2]=5，解得k=-[458].即y關于x的函數解析式為：y=-[158x+458]（x-2）.

【錯因】此解法錯在設函數解析式時，把y1與x，y2與x-2的比例系數設成相同的了，而實際上它們不一定相同，并且已知條件只代入了一部分.

【正解】設y1=[k13x]，y2=k2（x-2），k1、 k2≠0.則y=y1-y2=[k13x-]k2（x-2）.將x=3，y=5；x=1，y =-1代入得[k19-k2（3-2）=5，k13-k2（1-2）=-1，]解得[k1=9，k2=-4，]即y關于x的函數解析式為：y=[3x]+4（x-2）.

不同函數的k值是不同的.k只是一個字母，也可以用f表示.同學們要理解其真正的內涵.

四、忽視自變量的取值范圍

【例4】如圖1，在矩形ABCD中，AB=3，BC=4，點P在BC邊上運動，連接DP，過點A作AE⊥DP，垂足為E，設DP=x，AE=y，則能反映y與x之間函數關系的大致圖像是（ ）.

【錯解】在矩形中連接AP，∵S△APD=[12]PD×AE=[12]AD×AB，∴xy=3×4=12，即y=[12x]，是反比例函數，故選D.

【錯因】在判斷函數的圖像時，一定要注意自變量的取值范圍.首先，當k>0時，反比例函數圖像在第一、三象限；其次，同學們做題時已經考慮并知道了x>0，所以選了D，但是同學們忽視了自變量在實際問題中的取值范圍.要使問題有意義，還要考慮P點是在BC邊上運動的，所以y與x之間關系的圖像是雙曲線在第一象限圖像中的一部分.

【正解】與上面一樣，解得y=[12x]是反比例函數.∵當P與B重合時，AP=AB=3；當P與C重合時，AP=AC=5.∴不僅有自變量x>0，而且還有3≤x≤5，y與x之間關系的圖像是雙曲線在第一象限中的一部分，正確圖像如C所示.

自變量的取值范圍很重要，同學們一定不能忽視.

五、忽視性質成立的條件

對于反比例函數來說，當k>0時，圖像分別位于第一、三象限，在同一個象限內，y隨 x的增大而減小；當k<0時，圖像分別位于第二、四象限，在同一個象限內，y隨x的增大而增大.

【例5】已知P（x1，-2）、Q（x2，2）、R（x3，3）三點都在反比例函數y=[a2+1x]的圖像上，則下列關系正確的是（ ）.

A.x1

C.x3

【錯解】∵y=[a2+1x]是反比例函數，且k=a2+1>0，∴y隨x的增大而減小.又∵-2<2<3，∴x3

【錯因】當k>0時，反比例函數的圖像在第一、三象限內，且在每一象限內，y隨x的增大而減小，但點P（x1，-2）與Q（x2，2）、R（x3，3）不在同一象限內，因而不能由-2<2<3，就斷定x3

【正解】∵k=a2+1>0，∴y隨x的增大而減小，且函數圖像分布在第一、三象限內.∵2<3，∴x3

本題考查了同學們對反比例函數圖像的性質及其增減性的理解.在應用反比例函數圖像性質的基礎上，同學們應會正確地比較在不同象限內點的橫、縱坐標值的大小關系.

六、忽視函數圖像的變換

反比例函數的圖像特點是：以原點為對稱中心的中心對稱的雙曲線，反比例函數圖像中每一象限的每一支曲線會無限接近 x軸、y軸，但不會與坐標軸相交（k≠0）.而一次函數圖像是直線，所以結合兩種圖像的性質特征，可利用數形結合求一類不等式的解集.

【例6】如圖2，直線y1=k1x+b與雙曲線y2=[k2x]交于A、B兩點，其橫坐標分別為1和5，則不等式k1x<[k2x]+b的解集是 .

【錯解】∵直線y1=k1x+b與雙曲線y2=[k2x]交于A、B兩點，又∵點A橫坐標為1，點B橫坐標為5，∴當y15.

【錯因】要求不等式k1x<[k2x]+b的解集，不等式右邊不是一個典型的反比例函數的形式，需要將其變換為一般形式.

【正解】∵由k1x<[k2x]+b，得到不等式k1x-b<[k2x]，∴令雙曲線不動，直線y1=k1x+b向下平移2b個單位，得y=k1x-b，直線向下平移2b個單位后的圖像如圖3所示，交點A′的橫坐標為

-1，交點B′的橫坐標為-5，當-50時，雙曲線圖像在直線y=k1x-b圖像上方，∴不等式k1x<[k2x]+b的解集是-50.

圖像怎樣做到平移呢？圖像的平移綜合成一點就是8個字：左加右減，上加下減.

總之，反比例函數的易錯題因人而異，同學們可以根據自己的學習情況進行辨析，以便強化記憶，查漏補缺，總結經驗，從而達到最好的學習狀態.

（作者單位：江蘇省常州市武進區星辰實驗學校）