反比例函數(shù)圖像的一個(gè)美妙性質(zhì)

張偉俊

一、題目與解答

【題目】如圖1，在平面直角坐標(biāo)系中，矩形OABC的頂點(diǎn)O與坐標(biāo)原點(diǎn)重合，頂點(diǎn)A、C分別在x軸、y軸上.反比例函數(shù)y=[kx]（k>0，x>0）的圖像經(jīng)過矩形OABC的對(duì)角線OB上的點(diǎn)P（2，1）.

（1）求k的值；

（2）當(dāng)AD=[12]時(shí)，求CE的長.

（3）若點(diǎn)B的坐標(biāo)為（a，b）且a>2，隨著a的變化，[BDBA]與[BEBC]的值是否一定相等？為什么？

【解】（1）∵雙曲線y=[kx]（k>0，x>0）經(jīng)過點(diǎn)P（2，1），∴k=2.

（2）設(shè)直線OB的解析式為y=mx.∵直線y=mx經(jīng)過點(diǎn)P（2，1），∴m=[12]，即直線OB的解析式為y=[12]x.∵AD=[12]，∴YD=[12]（即D點(diǎn)的縱坐標(biāo)為[12]，下同）.把YD=[12]代入y=[2x]，得XD=4，∴XB=XD=4（即x點(diǎn)的橫坐標(biāo)為4，下同）.把XB=4代入y=[12]x，得YB=2，∴YE=YB=2.把YE=2代入y=[2x]，得XE=1，∴CE=1.

（3）一定相等.理由：∵點(diǎn)B（a，b）在直線y=[12x上，]∴[b=12a，]∴XA=XD=XB=a，YC=YE=YB=

[12a]，把XD=a代入y=[2x]，得YD=[2a].把YE=[12a]代入y=[2x]，得XE=[4a]，∴[BDBA]=[YB-YDYB-YA]=[12a-2a12a-0]=[a2-4a2]，[BEBC]=[XB-XEXB-XC=][a-4aa-0=a2-4a2]，∴[BDBA]=[BEBC].

【反思】第（3）問中的結(jié)論，能否推廣到一般情形呢？如果推廣到一般情形，該如何表述呢？所表述的結(jié)論是否成立？原因又是什么呢？

二、拓展與提煉

【拓展】在平面直角坐標(biāo)系中，反比例函數(shù)y=[kx]（k≠0）的圖像外有一點(diǎn)P，過點(diǎn)P作PA⊥x軸于點(diǎn)A，作PB⊥y軸于點(diǎn)B，PA、PB分別交反比例函數(shù)y=[kx]（k≠0）的圖像于C、D兩點(diǎn)，此時(shí)[PAPC]與[PBPD]的值是否一定相等？為什么？

【分析】問題中的反比例函數(shù)y=[kx]的比例系數(shù)k≠0，包含k>0和k<0兩種情形.顯然，只要其中一種情形成立了，另一種情形也必然成立，所以不妨重點(diǎn)探討k>0的情形.由于點(diǎn)P是平面直角坐標(biāo)系中任意一點(diǎn)，此時(shí)還要考慮點(diǎn)P與反比例函數(shù)y=[kx]（k>0）的圖像的相對(duì)位置是否有不同的情形.如果有，還需分類討論.嘗試之后，我們可以發(fā)現(xiàn)有以下3種不同的情形（僅考慮相對(duì)位置），如圖2-4.

【解】不妨設(shè)k>0，分圖2-4這3種情形探討（由于篇幅有限，我們就不一一敘述，僅就圖3所示的情形進(jìn)行說明，其他情形同學(xué)們自行證明）.設(shè)點(diǎn)P坐標(biāo)為（a，b），則有XA=XC=XP=a，YB=YD=YP=b，∴有A（a，0），C（a，[ka]），B（0，b），D（[kb]，b），∴[PAPC]=[YA-YPYC-YP]=[0-bka-b]=[-abk-ab]=[abab-k]，[PBPD]=[XP-XBXP-XD]=[a-0a-kb]=[abab-k]，∴[PAPC]=[PBPD].

事實(shí)上，用同樣的方法可以說明在其他兩種情形下，[PAPC]=[PBPD]同樣成立，進(jìn)而說明原結(jié)論可以推廣到一般的情形.

【追問】[PAPC]=[PBPD]的成立，更深層次地說明了什么？在圖2-4中，分別連接AB、CD，你發(fā)現(xiàn)了什么？如果直線CD與x軸、y軸分別相交于E、F兩點(diǎn)，你又能得到什么？（此時(shí)有AB∥CD，CE=DF，你知道為什么嗎？）

以上的問題請(qǐng)同學(xué)們自主思考.數(shù)學(xué)的解題反思是提升數(shù)學(xué)解題水平的一種重要途徑，希望同學(xué)們能發(fā)揚(yáng)鉆研精神，在解題過程中多提問、多思考、多拓展，努力達(dá)到“解一題，會(huì)一類，通一片”的效果.

（作者單位：江蘇省常州市武進(jìn)區(qū)湖塘實(shí)驗(yàn)中學(xué)）