反思提問：初中數學深度學習的基點

嚴興泉

一、反思數學知識的理解，提出問題

數學的概念、性質、方法等數學知識是學好數學的基礎。在日常的數學教學中，若能使學生養成反思的習慣，常想：“對于數學知識的理解還存在哪些問題？”、“哪些概念不太明白？”、“哪些性質、方法還沒弄清楚？”、“哪些知識還可作進一步的探究？”，那么學生提出的問題不會少，而且有的問題的質量也相當高。

例如，我們觀摩一位初中教師講授圓冪定理時，在研究完了圓內兩條相交弦的問題后，學生思考并提出問題：⑴當有一條弦通過圓心時結論是否成立？當兩條弦互相垂直又怎樣？（從而引導學生得出相交弦定理的推論）⑵當交點在圓的外部時又是怎樣？通過探討分析得到了割線定理；在研究割線定理時，應用運動觀點去思考：有割線定理推出切線長定理，并弄清它們間的聯系等。⑶再反過來思考，能否利用割線定理來研究推導切線長定理？課堂上，經過師生互動、分析探究，最終得到非常圓滿的結論：學生理解和明確了相交弦定理、割線定理和切線長定理具體內容和相互關系，并能較好的去應用這些定理來解題。這樣，學生對圓冪定理這一內容的理解就會銘記在心、難以忘懷，也會準確應用解決相應問題。

二、反思數學問題的解決，提出問題

學習數學離不開解題。喬治·波利亞“怎樣解題”中有四個步驟：“理解題目——擬訂方案——執行方案——回顧”，其中“回顧”即解題后的反思，這是其中一個極其重要的環節。學生如能高度重視解題后的反思，則提出的問題也將有許多。反思解題方法，可提出多種解法，分辨哪種解法優？哪種解法劣？反思解題過程，可提出是否有錯誤？產生錯誤的原因是什么？怎樣糾正？反思解題思路，可提出解題過程是繁還是簡？是巧還是拙？為什么？

例如，有這樣一道題：一場籃球賽中，小明跳起投籃，已知

球出手時離地面高米，與籃圈中心的水平距離為8米，當球出手后水平距離為4米時到達最大高度4米，設籃球運行的軌跡為拋物線，籃圈中心距離地面3米。⑴問此球能否投中？⑵在出手角度和力度都不變的情況下，小明的出手高度為多少時能將籃球投入籃圈？

學生的解法為：（1）易知拋物線的頂點坐標為（4，4），球

出手時的坐標為，易得拋物線解析式為

，當x=8時，，所以此球不能投中.（2）設解析式為

，代入點（8，3），得，所以

當x=0時，.

上述解法是正確的，我引導學生課后再反思一下，還有其他的解法嗎？也許會茅塞頓開，另辟蹊徑。后來有學生告訴我有簡便方法：因為拋物線的對稱軸是x=8，籃球出手時的位置和籃圈與對稱軸都相距4米，所以這兩個點是關于對稱軸對稱的，它們的縱

坐標應該是相等的，而，所以球不能投中；同理，要想球能投中，則讓球出手時的高度等于3米時就能將籃球投入籃圈。這個方法非常簡便，我及時表揚了這位學生。

通過讓學生探討反思得出多種解法，在解題中發表見解、提出猜測，使學生置身于自我再造的情景中，從多角度解決問題，享受創新的樂趣。

三、反思原問題，提出新問題

數學問題（包括數學命題）是數學的核心部分。數學中的問題有許多，如能經常有意識地引導學生對原問題采用一定的演變的方法和策略，則可以創造出更多有意義的問題，以引導學生走向數學的深度學習。

（1）推廣與引申，數學問題的推廣，就是將原問題推向更具一般化的問題；數學問題的引申，就是將原問題通過類比、聯想、邏輯推理等延伸出與之緊密聯系的新問題。解題之后，進行推廣、引申，不僅可以培養學生的創新能力，還能幫助學生洞察本質，提高認識，居高臨下，跳出題海，走向深度學習。

例如，在學習勾股定理逆定理時，引導學生理解，在△ABC中，BC=a，AC=b，AB=c，設c為最長邊，當a2+b2=c2時，△ABC是直角三角形；有學生就馬上問：當a2+b2≠c2時，△ABC會是什么形狀？這個問題問的很好，說明這個學生在反思，我立即鼓勵他：這個問題你課后研究一下，看看會是什么形狀.后來這個學生告訴我當a2+b2>c2時，△ABC為銳角三角形；當a2+b2（2）換位和否定，將原問題的條件與結論互換，就可以提出逆問題。例如，從原命題：“已知Rt△ABC中，CD是斜邊AB上的高，求證：△ABC∽△CBD∽△ACD”，可以提出其逆命題：“已知Rt△ABC中，D是斜邊AB上的一點，且△ABC∽△CBD∽△ACD，求證：CD是斜邊AB上的高”是否成立？（這個逆命題不一定成立，學生可以舉出反例）。

當原問題（或原命題）的正確性難于解決（或證明）時，可以考慮否定（或推翻）該問題（或命題）

例如，不少學生原以為：“若一個點到一個三角形三邊距離相等，則這個點是三角形的內心”是真命題。事實上，通過構造反例圖形否定它，并得到一個正確的命題：“若一個點到一個三角形三邊距離相等，則這個點是三角形的內心或旁心”。

（3）改變“屬性”，改變“屬性”提出問題，其步驟是：（1）一一列出所研究對象（命題、問題、概念等）的各個“屬性”。（如每一條件、性質、結論等）；（2）改變其中某一個（或幾個）“屬性”，并觀察思考問題是否發生變化？發生了怎樣的變化？改變“屬性”的方法有特殊化、具體化、一般化、歸納、類比、直覺等；（3）根據上述情況的分析提出問題。

原問題：如圖2，點E，F，G，H分別是四邊形ABCD各邊的中點，試判斷四邊形EFGH的形狀并說明理由.由于中點四邊形的形狀主要由原四邊形的對角線所決定，所以這題中涉及三個“屬性”，1.對角線；2.中點；3.中點四邊形的形狀。

改變屬性1得：如圖3，點E，F，G，H分別是四邊形ABCD各邊的中點，若AC=BD，試判斷四邊形EFGH的形狀并說明理由.

改變屬性1得：如圖4，點E，F，G，H分別是四邊形ABCD各邊的中點，若AC⊥BD，垂足為O，試判斷四邊形EFGH的形狀并說明理由.

改變屬性2得：如圖5，在四邊形ABCD中，

，試判斷四邊形EFGH的形狀并說明理由.

改變屬性3得：如圖2，點E，F，G，H分別是四邊形ABCD各邊的中點，若四邊形ABCD的面積為S，試用S表示四邊形EFGH的面積，并說明理由.

改變“屬性”提出問題，其核心是從各個“屬性”去考慮——“如果它不是這樣的話，那又可能是什么”。因此，這一方法就被稱為“否定假設法”，它是從原問題出發產生新問題的十分普遍而有效的方法和基本策略。前面所述推廣與引申，換位與否定等等方法都可以化歸為“否定假設法”的應用。

我們以為在反思中提出問題，是學生再思維再創造的結果，是創新思維形成和培養的較佳方式，是學生學習數學進步的有力證明，是數學深度學習的開山之門。