關于高職微積分教材建設改革的思考

繆燁紅

摘 要：目前我國高職微積分教材的種類繁多，但是大多數教材并沒有體現完全高職教育的特色，沒有深入考慮到高職學生的知識水平和認知特點，文章通過比較國外優秀的微積分教材，給出在高職微積分教材建設中的一些改革思路。

關鍵詞：微積分；教材比較；改革

中圖分類號：G642 文獻標志碼：A 文章編號：2096-000X（2018）22-0129-03

Abstract： At present， there are a wide variety of teaching materials in higher vocational colleges in China， but most of the teaching materials do not reflect the characteristics of higher vocational education. There is no in-depth consideration of the knowledge level and cognitive characteristics of higher vocational students. This paper gives some reform ideas in the construction of higher vocational college calculus teaching materials by comparing foreign excellent calculus teaching materials for reference.

Keywords： calculus； comparison of teaching materials； reform

一、國內高職微積分教材的編寫及使用現狀

目前高職微積分教材的種類繁多，有很多高職院校使用的是本校教師自己編寫的教材，但大多還是本科高等數學的壓縮版，內容體系嚴格按照本科教學設計，保留了原有的數學學科理論體系，教材體系嚴謹，內容上也面面俱到，沒有體現高職教育的特色，沒有考慮到高職學生的實際認知水平，與實際應用存在很大的脫節[1]。

隨著高職教育的不斷深化與改革，高職高等數學教學模式的改革，高職的微積分教材建設呈現了多元化的格局，出現了一批具有高職特色的微積分教材，但是在使用的過程中也不可避免地出現了一些問題。有很多教材淡化了數學理論，強化幾何說明，也增加了數學軟件與數學實驗的內容，為了加強與專業的聯系，引入了很多與專業相關的實例，但是微積分課程是學生從大一的第一學期就開始接觸的基礎課程，學生其實對專業知識了解甚少，直接用數學知識或數學思想去解決專業問題也存在較大困難。

無論是教師教學過程或學生學習過程中，微積分教材本身扮演的角色或地位已經越來越薄弱。對于教師來講，目前高職數學課程面臨的問題是教學內容多，但是課時越來越少，對于微積分中的重點內容或重要思想在有限的教學時間內無法展開，考慮到高職學生本身的知識水平、計算水平、心理特征及發展水平的差異，對數學概念無法真正理解，數學知識產生的時代背景也模糊不清，導致很多高職學生在學完微積分后除了簡單的計算，不知道微積分在實際應用和以后的專業學習中有什么作用[2]。而微積分教材本身枯燥乏味，大多是定義、定理、證明、例題、練習一個格局，例題和習題的設置也多數是純粹抽象的數學問題，對于很多高職學生來講，教材僅僅用來完成課后作業。

二、對高職微積分教材改革的思考

近年來，國外對微積分教材的研究非常重視，其課程內容更多以非形式化的語言呈現，數字化工具的使用也已經融入到微積分的教學。下面以F .R .Giordano教授編寫的《Thomas' Calculus》（《托馬斯微積分》）部分章節為例，分析其編寫特點，希望能為高職微積分教材的編寫及改革提供新的思路。

本教材的主要特點是將加強技能的訓練作為重點，把鼓勵學生直觀形象地、解析和數值地思考的例子和討論包括進來，幾乎每個習題組都包含了要求把生成和解釋圖形作為理解數學和現實世界中關系的工具，將數學建模以及數學實驗的思想和方法融入課程，教材中也介紹利用計算機及數學軟件輔助教學和學習，但也多處強調不能濫用技術手段，它們不能代替思考、計算和推理證明，永遠是輔助手段。

高職學生剛接觸微積分時，除了復習學中已經學過的函數等預備知識外，第一個接觸的重要概念就是極限，它是貫穿整個微積分的始終，是研究微積分的基本工具，下面選取第一章《極限與連續》比較該教材和我院編寫的高職微積分教材《高職應用數學》的差異[3]。

（一）知識結構比較

教材《托馬斯微積分》中該章分為5節，包括：變化率與極限、求極限和單側極限、與無窮有關的極限、連續性、切線，《高職數學》該章沿用本科的體系結構分為：極限的概念、無窮小量與無窮大量、極限的計算、兩個重要極限、函數的連續性等5節。我們詳細以極限概念的引入和介紹為例，比較兩部教材的差異。

《托馬斯微積分》中第一節《變化率和極限》知識點包括：平均和瞬時速度、平均變化率與割線、函數的極限、極限的非正式定義、極限的精確定義。本節是通過引入平均和瞬時變化率給出極限的概念。文中最先通過一個簡單的物理問題求解平均速度和瞬時速度（數值求解并代數確認），給出平均變化率的概念，并給出其幾何說明（割線），并舉例工程中材料溫度的變化的平均和瞬時變化率問題，從而引出極限的概念。從幾何和數值上都詳盡分析了函數在（x）=在x=1附近的性態，從而給出了函數極限的非正式定義。

《高職應用數學》教材中本節的知識點包括：數列極限的描述性定義、收斂數列的性質、函數極限中x→∞，x→x0 的情形、左右極限的概念。本節是通過讓學生觀察幾個數列，當項數無限增大時通項在如何變化，從而給出數列極限的描述性定義，后面列舉了收斂數列的幾個性質。由于數列是特殊的函數，從而自然給出函數x→∞時的極限定義，最后都是分析函數f（x）=當x→1當x→1時的變化趨勢，從而給出了函數極限x→x0的描述性定義。

從內容的編寫特點來看，兩本教材明顯有側重點。《托馬斯微積分》側重數值分析和幾何說明，文中也大幅出現圖形，而《高職應用數學》沿用了一貫的數學理論體系，注重內容的邏輯性和系統性，盡管將極限的概念從函數的表現形式上進行了分類講解，但側重點仍是對概念性質的理論分析和灌輸，圖形方面展現很少。從高職學生的學習和心理特點分析，該類學生邏輯推理能力、計算能力相對薄弱，對抽象的理論、計算存在一定的排斥心理，而明顯《托馬斯微積分》對抽象的極限概念的引入更為直觀、形象，也有現實生活中幾何、物理、工程中的各種簡單實例，學生也更易把握極限的本質思想，了解其本質是一個動態過程，完成中學數學向高等數學思想的過渡和轉變。在今后編寫高職的微積分教材時，完全可以打破原有的固有的思維模式和理論體系，盡量從數值、幾何角度更為形象地為學生展現極限的思想和本質[4]。

（二）習題設置比較

習題也是教材的重要組成部分，不僅是教學效果的檢測，也是體現教學內容應用的重要部分。教材《托馬斯微積分》的習題設置非常有特色和豐富，我們也僅以第一節的習題為例。習題設置了基礎題，實際應用題，概念理解題，借助計算機估值計算等題型，各種類型進行了分類：平均變化率、估算實際問題中的瞬時速度、從圖形求極限、探究極限的存在性問題、借助計算機和數學軟件估算極限等。《高職應用數學》教材中習題安排的是求數列、函數極限或左右極限的計算題，考察學生能否從圖像直接觀察出極限。

從習題設置來看，《托馬斯微積分》有更為豐富的題型案例，更側重學生的發散性思維的培養，注重提高學生解決實際問題以及探究學習的能力，也有簡單的抽象函數的極限，但是大都輔助有函數的圖像去分析，更為直觀，學生也較容易理解計算，不需要很強的計算技巧，而《高職應用數學》中的習題基本都是抽象函數的極限計算題，對學生的計算能力有一定的提高，但是對于加強學生對概念的直觀理解，里面所蘊含的數學思想和數學思維方式沒有太大的輔助作用，只是盲目解題，無法理解極限在實際應用中怎么應用、如何應用，從而對于高職學生來講，在習題設置時，可以增加形式簡單，但內容新穎具有代表性且與日常生活密切相關的案例，增加學生學習的興趣，讓學生理解到微積分在實際中的用處，并加強解決實際問題的能力。另一方面，《托馬斯微積分》中都留有部分習題用數學軟件去計算或作圖，但是其目的不是為解題而解題，而是設置思考，讓學生自主探究圖形的特點，更直觀地分析函數的性態和數值結果，這也是值得我們去借鑒的。

（三）啟發性與應用性的比較

《托馬斯微積分》教材的獨特優點是應用性強，其教學內容與生活實際緊密結合在一起，和政治、軍事、金融、經濟、醫學、生物、幾何、建筑、物理等有著密切關系，信息量非常大。通過關系到十分初等的、精選的，又能展現數學建模教學的練習題，不但教授了學生數學概念，也教授了學生數學建模知識，還教授了學生怎樣使用數學知識解決現實中的實際問題。《托馬斯微積分》的第二個特點是其注重啟發性，教材中有非常多的思考內容與討論內容，而《高職應用數學》教材的教學一般是從數學到經過仔細設計的練習題，主要體現的是對證明思路的模擬、計算方法的訓練、數學理論知識的理解等，其應用題也大多局限于微積分在幾何、物理中的傳統使用，少了一些趣味性與生活氣息[5]。

（四）吸收社會與科技新成果的能力及現代性的比較

《托馬斯微積分》教材有很強的現代感與時代感，在引入數學定理、公式、概念時，大多是先給出數值計算的相近結果，再給出較為直觀的幾何圖形，最后再進行嚴格的闡述，使得現代科學技術和數學理論知識有效的結合在一起。《托馬斯微積分》中添加了很多使用數學軟件展開作圖和計算的問題，激發了學生的學習興趣。同時，《托馬斯微積分》還提供了一種網上微積分課程，拓展了教學的時空，使得師生之間的溝通變得更加便利，這種整合教學內容的方式尤其值得我們學習。而《高職應用數學》教材只是把屬于計算方法課中的部分添加在對應的課程中，因為手工計算較為麻煩、沒有展開較好的處理，教學中起到的作用十分有限。

（五）理論的比較

1. 數學觀的不同

從數學哲學者的角度來說，國內外學者對于數學的態度不同。國內大多是從數學知識的方向來認識數學，并因此思考怎樣開展數學教學。因此，我國的教學特點是證明規范、結構嚴謹、理論知識完整，其教學訓練也是從知識角度考慮，絕大部分練習題為理論證明、概念分析和運算題。國外在20世紀50年代主要把數學看作“工具主義的數學觀”，其是把數學當作適用于多種場合的事實性技巧、方法、結論的融合；在20世紀50年代之后，又漸漸變為“數學活動論”的數學觀念，把數學看作人類的一種創造活動，是一種動態的教學觀念，他們編著教材是從“方法、語言、命題、論證、問題”等多種成分進行全面考慮，尤其是重視問題及問題的解決，從而構成較為現代化的教材。

2. 數學教育觀的不同

數學教育的目的性對其教學方式、教學內容甚至教學過程都有著極大的影響，以《托馬斯微積分》為代表的國外數學教學注重對數學工具的使用，其著名的數學教育專家曾說道“只有能夠直接使用的論題才能夠放在學校中展開知識的教授”，并且把這一優良的傳統一直保持到了現在。但我國數學教育正好相反，其注重的是對學生展開“思維訓練”，表現在教材上則是思維化的練習題、完整的知識系統、理論知識的嚴謹。展現了其以內容為中心，根據教學內容進行教學活動，同時還十分注重對概念的理解的數學教學理念。

3. 文化觀念的不同

從文化的方向進行分析，我們還需要看到整體性的文化傳統對于數學教學的影響。目前我國和國外的教學特點有以下區別：我國數學教學相對平均、重視模仿形式演繹、強調嚴密、負擔過重、注重演練、考試嚴厲、以教師為中心；而國外地區的數學教學善于表達、兩極分化、注重創造、不注重形式化、注重趣味、不注重作業、注重理解、不注重考試結果。以上的文化觀念極大的影響著我國與國外的數學教學。數學教學觀、數學觀、文化觀和社會的需要，極大的影響著數學教育共同體中的每一個成員，比如數學教材的編寫者、數學教育策略的制定者與審定者、數學教學管理人員等的思維與行為方式。

三、對高職微積分教材改革的啟示

1. 在教材的構建上，需要學習現代數學觀與現代數學教育觀，也就是要把數學當作是人類的一種創造性活動的同時，要明確數學教育目的是教會學生數學的思維，教材建設不但需要考慮數學的應用性、科學性、知識性，還要考慮到對學生的啟發性，以及怎樣激發出學生的學習興趣。

2. 教材建設應該加強教材的時代性，認真研究并且積極利用現代科技成果和現代科技方法，讓教材具有時代的先進性。例如在信息社會的發展過程中，科學計算已經成為新的方式，教材建設就一定要予以關注，同時現代化的教學方法也會對教材產生深遠的影響[6]。

3. 需要引起注意的是《托馬斯微積分》教材具有鮮明的特色和豐富的教材，其內部收集了1000多個來自于實際生活的數學問題，它們一些出自于已經發表的論文，一些出自于報道或者著作中，這恰好反映出了國外教材編著者孜孜不倦的科學精神和工作態度，我們在編寫教材時也應該學習這種勤奮、敬業、科學的工作態度與精神，從而也使得我們的微積分教材變得特色鮮明，貼近生活。

4. 趣味性影響著教材的親和力與吸引力，并且也影響著教材應該擁有的啟發性與新奇性，而其又對教材的創新教育功能有著極大的影響。人文性對于全面增強學生素質是不能缺少的，因此需要花費一定的時間和精力努力提升教材的人文性與趣味性。

四、結束語

高職微積分教材建設與改革是一個艱巨的系統工程，不僅體系構建要合理，教材的編寫內容也要不斷更新和充實，不僅要考慮到時代發展的需要，也要考慮高職學生本身的認知水平、心理特征等特點，建設真正具有高職特色、適合高職學生特點和發展的實用型教材，盡管現在很多高職微積分教材做到了淡化理論推導和運算技巧，概念描述簡潔，但是在對微積分基本概念的產生背景、實際應用，蘊含的數學思想也都淡化了，并沒有真正做到“實用為主、夠用為度”。我們只有對現行的高職微積分教材繼續改革和探索，才能建設出符合時代特征的優秀高職微積分教材。

參考文獻：

[1]同濟大學應用數學系.高等數學[M].第六版.北京：高等教育出版社，2007.

[2]F.R.Giordano.托馬斯微積分[M].第10版.北京：高等教育出版社，2003.

[3]陸宗斌，李艷萍，王詠芳.高職應用數學[M].第1版.北京：北京理工大學出版社，2017.

[4]于千，高雪芬.中美大學微積分教材比較研究[J].大學教育，2018（3）：7-10.

[5]李開慧.高職院校高等數學教材建設的改進探索[J].中國成人教育，2013（12）：139-141.

[6]王元明，王旭.高職院校高等數學教材改革探析[J].吉林工程技術師范學院學報，2015（2）：18-20.