軌跡方程求解的常用方法

王美瑩 王金芝

摘 要：軌跡是滿足一些幾何條件的點的集合，而方程就是一些實數對的集合，那么求點的軌跡方程就是根據已知點的坐標的運動規律，再去找變量間的關系的方程。解決軌跡方程基本問題的核心就是曲線和方程的相互轉化，在求軌跡方程的時候，要著重研究從題中分析出來的幾何性質，從而找到適當的方法。本文主要研究各種類型的軌跡方程的求法。

關鍵詞：軌跡；方程；變量；動點

求動點的軌跡方程是一個綜合性的知識，用代數的方法研究平面幾何圖形的性質，軌跡問題是高考中的一個難點，它涉及知識面廣（例如三角函數、向量、幾何等知識）、方法靈活多變、技巧強，能夠考察學生各方面的能力，本研究介紹了求軌跡方程的幾種方法如直接法、待定系數法、相關點法、參數法等，并舉出其相應的例子。

1 求軌跡方程的常用方法

1.1直接法

如果動點滿足的幾何條件就是一些幾何量之間的等量關系，或者這些幾何條件簡單明了并且易于表達，再寫成x，y的等式。

點評：（1）如果在題中動點的規律的等量關系很明顯，那么直接將此數量關系代入，然后求軌跡。（2）有時候動點規律的數量關系不明顯，這時就可以根據平面幾何中的性質、中線定理、勾股定理、垂徑定理等等，從而分析出它們的數量關系。

1.2待定系數法

若己知動點的軌跡是某種圓錐曲線，則可以直接設出含有待定系數的方程，再根據題中動點所滿足的條件，從而求出待定的系數，即得到動點的軌跡方程，或者稱這種方法為定義法。

1.3相關點法（代入法）

與動點M（x，y）相關的點P（X0，Y0）在己知曲線運動，將X0，Y0表示X，y的式子代入P點的方程，整理關于x，y的關系式得M的軌跡方程。

1.4交軌法

如果所求軌跡的動點是兩條曲線（或直線與曲線或直線與直線）的交點，即可聯立這兩條曲線（或直線與曲線或直線與直線），得到動點的坐標關系式。

例4，如圖1所示，設O，F分別為拋物線的頂點和焦點，P是拋物線上任意一點，過P作拋物線準線的垂線，垂足為Q，直線OP與FQ相交于R，當P在拋物線上運動時，求R點的軌跡方程。

2 結語

主要研究了軌跡方程的求解，介紹了求軌跡方程的幾種常用方法：直接法、待定系數法、代入法、參數法等，并且每種方法都有詳細的解析，這樣我們就可以由己知條件選擇用哪種方法求軌跡方程更加快捷簡便。

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