應用（[G′/G]）—展開法求解（1+1）維Boiti—Leon—Pempinelli（BLP）方程

樊志毅 趙展輝

摘 要：非線性偏微分方程大量出現在數學、物理、力學、化學、生物、工程等領域.因而，尋求其精確解對深刻理解模型所反應的非線性現象具有十分重要的理論意義和學術價值.本文利用拓展的F-展開，結合 [（G′/G）] -展開法研究BLP方程，得到了新的行波解.

關鍵詞：[（G′/G）] -展開法；改進的[（G′/G）] -展開法；（1+1）維BLP方程；行波解；精確解

中圖分類號：O175.29 DOI：10.16375/j.cnki.cn45-1395/t.2018.04.016

0 引言

在經濟全球化的今天，科學技術也日益的發達，非線性偏微分方程在不同的學科領域中的作用也日益凸顯，尤其是與物理學有關的各個分支領域，如流體力學、非線性光學等.研究非線性偏微分方程的精確解將有助于我們更好地理解以及解釋上述的物理科學.

在所求得的非線性偏微分方程的精確解中，孤立波解是一類很特別的解，其含義表示波在傳播過程中的速度和形狀都沒有發生改變，即保持了穩定性.可積系統中都可以求解出孤子解.近些年來，隨著孤子理論的發展，尋找求得孤子解的方法也逐漸成為一個熱門的研究方向，如：齊次平衡法[1]、Darboux變換[2-3]、三波法[4]等都是目前求解非線性偏微分方程常用的方法.

基于已有的研究方法，通過運用[（G/G）]-展開法[5]及其改進的方法[6]來求解（1+1）維BLP方程，以便可以獲得豐富的精確的孤立波解.

1 [（G/G）] -展開法簡介

王明亮等[1]提出了齊次平衡方法及其應用，齊次平衡方法是求解非線性偏微分方程的一個重要的方法.李二強等[5]提出了（G/G）-展開法，事實表明，[（G/G）] -展開法的確是一種簡便的方法，且求解過程十分簡單明了，很容易掌握.因此，為相關研究人員所利用，由此許多研究者對已有的[（G/G）] -展開法進行改進（即讓解的形式由正向指數冪拓展到負向指數冪），以便獲得更豐富的精確解.

為能更好理解[（G/G）] -展開法，下面將簡單敘述此方法求解的過程：

以（2+1）維非線性方程為例（即含有[x，y，t]為自變量的非線性方程），該方程的一般形式為：

[pu， ut， ux， uy， uxx， uxy， uxt，…=0，] （1）

其中，[u=u（x， y， t）]，[p]表示[u]以及[u]的各階偏導數的一個多項式.

對所求的非線性方程進行行波變化：

[ux， y， t=uξ，] [ ξ=kx+ly+ct，] （2）

由此可以得到一個關于[u=u（ξ）]的非線性常微分方程，即：

[pu， u， u， …=0.] （3）

假設所求的非線性方程有形如

[uξ=i=0naiGGi] （4）

的解.

若用改進的[（G/G）] -展開法來求解，則所求的非線性方程有形如

[uξ=i=-nnaiGGi] （5）

的解.

在方程（4）中的[G=G（ξ）]需滿足方程：

[G+λG+μG=0 ，] （6）

在方程（5）中的[G=G（ξ）]需滿足方程：

[G+μG=0 ，] （7）

在上式的方程中，[ai（i=1， 2， …， n）， c、k、l、μ、λ]都為待定系數，正整數[n]則由齊次平衡方法（即令最高階導數項次方數等于最高階非線性項次方數）來確定.

當待定系數[n]確定后，便知道了解的項數，此時便可以將式（4）或式（5）代回到方程（3），得到一個關于[（G/G）]的多項式.接下來，令[（G/G）]的各次項的系數為0，通過使用Maple軟件便可以求解待定系數[ai（i=1， 2， …， n） ， c、k、l、μ、λ].

2 應用[（G/G）]-展開法求解（1+1）維BLP方程

考慮BLP方程

[ut+2uux-12vx=0 ，]

[vt-12uxxx+2uvx=0.] （8）

方程組（8）稱為（1+1）維BLP方程.

經研究發現，BLP方程具有混沌現象，混沌（Chaos）是一種貌似無規則的運動，指在確定性非線性系統中，不需附加任何隨機因素亦可出現類似隨機的行為（內在隨機性）.

下面將分別用[（G/G）] -展開法及其改進的方法對（1+1）維BLP方程進行求解和討論.

首先對式（8）進行行波變換：

[ux，t=uξ ， ξ=kx+ct ，] （9）

[vx，t=vξ， ξ=kx+ct ，] （10）

則式（8）變成如下方程組：

[cu+2kuu-12kv=0 ，]

[cv-12k3u+2kuv′=0.] （11）

假設方程組的解滿足以下形式：

[uξ=i=0naiGGi，] （12）

[vξ=j=0mbjGGj.] （13）

式中：[ai（i=0 ， 1 ， 2 ， …， n） ， bj（j=0 ， 1 ， 2 ， … ， m）]為待定系數，且[G=G（ξ）]滿足以下方程：

[G+λG+μG=0 ，] （14）

方程（14）中[λ]和[μ]都是待定系數.將方程（12）和方程（13）代入方程組（11），由齊次平衡原理得到如下等式：

[2n+1=m+1 ，]

[n+3=m+n+1 ，]

由以上2個等式解得[n=1，m=2.]為此，方程組（11）解可以寫成以下形式：

[uξ=a1GG+a0 ，]

[vξ=b2GG2+b1GG+b0.]

[a1≠0 ， b2≠0 ， b1≠0 ，] （15）

通過Maple軟件的求解，可以得到有關的系數解.

[a0=k2λ-2c4k ， a1=12k ， b0=12k2μ ， b1=12k2λ ， b2=12k2.] （16）

式中：[c、k、μ、λ、a0、b0]為任意常數.將式（16）所得到的解代入待定解（15）中，則方程（11）的解可以寫成：

[uξ=k2λ-2c4k+k2GG ，]

[vξ=k2μ2+k2λ2GG+k22GG2.] （17）

式中：[ξ=kx+ct ， c、k、μ、λ]是任意常數.若已經求出方程（14）的通解后，把它代入上面的待定解（17）就可以求出關于（1+1）維BLP方程的3種不同類型的行波解，而方程（14）的解分以下3種情況進行討論：

1）[λ2-4 μ>0]，根據方程（14）的通解可以得到：

[GG=-λ2+λ2-4 μ2A1sinh12λ2-4 μξ+A2cosh12λ2-4 μξA1cosh12λ2-4 μξ+A2sinh12λ2-4 μξ ，] （18）

式中：[A1、A2]是可以取任意常數，把通解（18）代入待定解（17）后，就可以得到方程（8）的扭結波解：

[uξ=k2λ-2c4k+k2-λ2+λ2-4 μ2A1sinh12λ2-4 μξ+A2cosh12λ2-4 μξA1cosh12λ2-4 μξ+A2sinh12λ2-4 μξ ，]

[vξ=k2μ2+k2λ2-λ2+λ2-4 μ2A1sinh12λ2-4 μξ+A2cosh12λ2-4 μξA1cosh12λ2-4 μξ+A2sinh12λ2-4 μξ+]

[k22-λ2+λ2-4 μ2A1sinh12λ2-4 μξ+A2cosh12λ2-4 μξA1cosh12λ2-4 μξ+A2sinh12λ2-4 μξ2.] （19）

式中：[ξ=kx+ct， c、k、A1、A2、μ、λ]都是任意常數.利用輔助方程（14）的通解，當[A1、A2]取不同的值時，所得的解也就不同，例如取[A1>0，A21>A22]，則扭結波解（19）可以寫成下面的形式：

[uξ=-c2k+kλ2-4 μ4tanhλ2-4 μξ2+ξ0 ，]

[vξ=k2μ2+k2λ2-λ2+λ2-4 μ2tanhλ2-4 μξ2+ξ0+]

[k22-λ2+λ2-4 μ2tanhλ2-4 μξ2+ξ02.] （20）

式中：[ξ=kx+ct，ξ0=arctanhA2A1， A1、A2、c、k、μ、λ]是任意常數.

2）[λ2-4 μ<0]，根據方程（14）的通解可以得到：

[GG=-λ2+λ2-4 μ2-A1sin12λ2-4 μξ+A2cos12λ2-4 μξA1cos12λ2-4 μξ+A2sin12λ2-4 μξ ，] （21）

式中：[A1、A2]是任意常數，把通解（21）代入待定解（17）后，就可以得到方程（8）的三角函數解：

[uξ=-2c4k-λ2+λ2-4 μ2-A1sin12λ2-4 μξ+A2cos12λ2-4 μξA1cos12λ2-4 μξ+A2sin12λ2-4 μξ ，]

[vξ=k2μ2+k2λ2-λ2+λ2-4 μ2-A1sin12λ2-4 μξ+A2cos12λ2-4 μξA1cos12λ2-4 μξ+A2sin12λ2-4 μξ+]

[k22-λ2+λ2-4 μ2A1sinh12λ2-4 μξ+A2cosh12λ2-4 μξA1cosh12λ2-4 μξ+A2sinh12λ2-4 μξ2.] （22）

式中：[ξ=kx+ct ， c、k、A1、A2、μ、λ]是任意常數.利用輔助方程（14）的通解，當[A1、A2]取不同的值時，所得的解也就不同，例如取[A1>0 ， A21>A22]，則三角函數解（22）可以寫成下面的形式：

[uξ=-c2k+k4 μ-λ24tan4 μ-λ2ξ2+ξ1 ，]

[vξ=k2μ2+kλ2-λ2+k4 μ-λ22tan4 μ-λ2ξ2+ξ1][+]

[k22-λ2+4 μ-λ22tan4 μ-λ2ξ2+ξ1.] （23）

式中：[ξ=kx+ct ， ξ1=arctanA2A1， A1、A2、c、k、μ、λ]是任意常數.

3）[λ2-4 μ=0]，由方程（14）的通解可知：

[GG=-λ2+A2A1+A2ξ ，] （24）

式中：[A1、A2]是任意常數，把通解（24）代入待定解（17）后，便可以得到方程（8）的有理函數解：

[uξ=k2λ-2c4k+k2-λ2+A2A1+A2ξ ，]

[vξ=k2μ2+k2λ2-λ2+A2A1+A2ξ+k22-λ2+A2A1+A2ξ2.] （25）

式中：[ξ=kx+ct ， c、k、A1、A2、μ、λ]是任意常數.

設方程（8）有如下形式的解，即：

[uξ=i=-nnaiGGi，] （26）

[vξ=j=-mmbjGGj，] （27）

式中：[ai（i=-n ， … ， 0 ， 1 ， … ， n）]、[bj（j=-m ， … ， 0 ， 1 ， … ， m）]，并且[G=Gξ]還滿足方程：

[G+μG=0，] （28）

式中：[μ]是待定常數.把形式解（26）和式（27）代入方程組（11），由齊次平衡方法可以得到以下等式：

[2n+1=m+1 ，]

[n+3=m+n+1 ，]

由上面的等式可以解得：[n=1 ， m=2.]為此，方程組（11）解的形式可以寫成如下等式：

[uξ=a-1GG+a0+a1GG ，]

[vξ=b-2GG-2+b-1GG+b0+b1GG+b2GG2.] （29）

通過Maple軟件求解，得到如下系數解：

[a0=-c2k ， a1=12k ， b0=k22 μ ， b2=k22 ， a-1=0 ， b-2=0 ， b-1=0 ， b1=0.] （30）

式中[c、k、μ]是任意常數.把系數解（30）代入式（29）后，方程（11）的解可以化為：

[uξ=-c2k+12kGG ，]

[vξ=k22 μ+k22GG2.] （31）

式中：[ξ=kx+ct ， c、k、μ]是任意常數.當求出方程（28）的解后，把它代入式（31），就可以求解出關于（1+1）維BLP方程的3種不同類型的行波解，下面對參數的不同情況進行討論：

① [μ>0]，由方程（28）的通解可知：

[GG=μ-A1sinμξ+A2cosμξA1cosμξ+A2sinμξ ，] （32）

式中：[A1、A2]是任意常數，把通解代入形式解方程組（31）后，可以得到方程（8）的三角函數解：

[uξ=-c2k+12kμ-A1sinμξ+A2cosμξA1cosμξ+A2sinμξ ，]

[vξ=k22 μ+k22μ-A1sinμξ+A2cosμξA1cosμξ+A2sinμξ2.] （33）

式中：[ξ=kx+ct ， μ>0 ， A1、A2、c、k]都是任意常數.

利用輔助方程（28）的通解，當[A1、A2]取不同的值時，所得的解也就不同，例如取[A1>0 ， A21>A22]，則三角函數解（33）可以寫成：

[uξ=-c2k+12kμtanμξ+ξ0 ，]

[vξ=k22 μ+k22μtanμξ+ξ02.] （34）

式中：[ξ=kx+ct ， ξ0=arctanA2A1 ， μ>0 ， A1、A2、c、k]是任意常數.

②[ μ<0]，根據方程（28）的通解可以得到：

[GG=-μA1sinh-μξ+A2cosh-μξA1cosh-μξ+A2sinh-μξ ，] （35）

式中：[A1、A2]都是任意常數，把通解（35）代入式（31）后，可以得到方程（8）的扭結波解：

[uξ=-c2k+12k-μA1sinh-μξ+A2cosh-μξA1cosh-μξ+A2sinh-μξ ，]

[vξ=k22 μ+k22-μA1sinh-μξ+A2cosh-μξA1cosh-μξ+A2sinh-μξ2.] （36）

式中：[ξ=kx+ct ， μ<0 ， A1、A2、c、k]是任意常數.利用輔助方程（28）的通解，當[A1、A2]取不同的值時，所得的解也就不同，例如取[A1>0、A21>A22]，則扭結波解（36）可以寫成：

[uξ=-c2k+12k-μtanh-μξ+ξ1 ，]

[vξ=k22 μ+k22-μtanh-μξ+ξ12.] （37）

式中：[ξ=kx+ct ， ξ1=arctanhA2A1 ， μ<0 ， A1、A2、c、k]是任意常數.

③[ μ=0]，根據方程（28）的通解可以得到：

[GG=A2A1+A2ξ ，] （38）

式中：[A1、A2]是任意常數，把通解代入式（31）后，可以得到方程（8）的有理函數解：

[uξ=-c2k+12kA2A1+A2ξ ，]

[vξ=k22 μ+k22A2A1+A2ξ2.] （39）

式中：[ξ=kx+ct ， μ=0， A1、A2、c、k]是任意常數.

3 結論

當考慮取不同的參數時，方程求解出來的解也不同，因此用[（G/G）] -展開法及其改進的方法所求解出來的精確解豐富了（1+1）維BLP方程的解系.同時，[（G/G）] -展開法具有一定的普遍性和適應性，該方法不僅可以對一個方程進行求解，還可以對一族方程進行求解.因此[（G′/G）] -展開法確實是求解非線性偏微分方程精確解的一個十分有效的方法.

在求解本文的兩個方程中，所構造的輔助函數[G]滿足的方程除[G+λG+μG=0]和[G+μG=0]外，還可以考慮輔助函數[G]所滿足的方程為[G2+qG2=p ， p≠0]，這可以找到方程更多的精確解.

參考文獻

[1]王明亮，李志斌.齊次平衡原則及其應用[J].蘭州大學學報（自然科學版），1999，35（3）：8-16.

[2]魏含玉，童艷春，徐冉.導數Manakov方程的Darboux變換及其精確解（英文）[J]. 數學雜志，2016（1）：6-16.

[3]黃坤，呂悅.（2+1）維MKdV方程的Darboux變換及其孤子解[J]. 吉林大學學報（理學版），2013，51（4）：573-579.

[4]趙展輝，何曉瑩，韓松.“三波法"在（2+1）維MNNV方程組中的應用[J].廣西工學院學報，2012，23（3）：4-14.

[5]李二強，王明亮.（G'/G）方法及組合KdV-Burgers方程的行波解[J]. 河南科技大學學報（自然科學版），2008，29（5）：80-83.

[6]鐘建新，劉建國.改進的G'/G-展開式法在廣義Kuramoto-Sivashinsky方程中的應用[J].應用數學學報，2017（1）：136-143.

Solving （1+1） dimensional Boiti-Leon-Pempinelli （BLP） equation with（G[′]/G）-expansion method

FAN Zhiyi， ZHAO Zhanhui*

（College of Science， Guangxi University of Science and Technology， Liuzhou 545006， China）

Abstract： The nonlinear partial differential equation has been applied in mathematics， physics， mechanics， chemistry， biology and engineering. So it is significant to obtain its exact solution for the understanding of the nonlinear phenomenon. This paper studies BLP equation by using（G[′]/G）-expansion method and modified（G[′]/G）-expansion method， finding out the new traveling wave solutions.

Key words：（G[′]/G）-expansion method； modified（G[′]/G）-expansion method； （1+1） dimensional BLP equation； traveling wave solution； exact solution

（學科編輯：張玉鳳）