基于ARFIMA—GARCH模型族的黃金價格預測分析

陳鵬 李星野

摘要：本文針對黃金價格的長記憶性進行實證研究，利用Hurst指數來證實黃金價格中確實存在顯著的長記憶性。以此對黃金價格的收益率進行分數差分后，再建立ARFIMA-GARCH模型族，從而反映了黃金收益率序列的波動聚集性。通過對不同模型的誤差絕對值對比，選取出最能體現黃金價格序列動態特征的模型。實證結果表明，該類模型能夠很好的反映黃金價格的波動規律，能夠給投資者提供決策意見。

關鍵詞：長記憶性；Hurst指數；ARFIMA-GARCH模型族

引言

黃金越來越成為世界矚目的財富，它是一種良好的保值產品，所以全球各國的政府機構都會爭相儲備黃金用來應對國家衰落或者經濟危機時拋售，以此來維持國家穩定。因此，對于黃金價格的預測分析就有了很重要的實際意義。

Hurst[1]在對尼羅河水庫水流量和貯存能力關系進行研究時，發現水利時間序列具有長記憶性特點。Mandelbrot[2]在之后的資本市場研究所提出的了分形布朗運動為金融市場的研究奠定了長記憶性的數學基礎。Peters E[3]首次提出了分形市場假說，并提出了R/S分析法。隨后Hosking[4]提出的ARFIMA模型、Engel[5] 提出的ARCH模型和Bollerslev[6]提出的GARCH模型讓我們在市場研究中更能有效的捕捉到市場的長記憶性和異方差性。在對黃金時間序列預測的方向中，國內更多人選擇了用統計分析方法來研究價格波動的內在機制（如羅禎[7]、樓曉東[8]、潘貴豪[9]等），通過研究發現ARFIMA建立的模型比ARIMA建立的模型在預測黃金價格走勢方面效果更佳。

本文嘗試引入基于分形分析的長記憶性研究，分別黃金價格時間序列建立ARFIMA-GARCH模型族，實證結果證明其確實具有長記憶性和異方差性，預測誤差非常小，預測價格波動趨勢基本一致。

1、模型介紹

1.1 長記憶性檢驗

關于長期記憶性的檢驗，一些學者采用重標極差統計量進行分析（即R/S分析法），該分析方法主要利用時序的全距與標準差之間的關系建立統計量，通過假設檢驗的思想得到結果。對于時間序列{Xt}，t=1，2，…，T，取n個序列觀測值，則R/S統計量為：

1.2 ARFIMA模型

通過對d值的確定之后，開始建立以d=H-0.5階差分（d為分數）建立的ARMA模型即為ARFIMA模型：

Φ（B）表示p階平穩的自回歸滯后算子，θ（B）表示q階可逆的移動平均滯后算子。該模型考慮了過程的長記憶性和短記憶性，其中p+q個參數描述過程的短記憶性，用參數d描述過程的長記憶性，因此ARFIMA模型優于普通的ARMA模型族，又優于單獨考慮長記憶性的分形差分模型。

1.3 GARCH模型族

1.3.1 GARCH模型公式

其中Ωt-1表示截止t-1時刻所有已知信息的集合，的大小反映了序列波動持續性的強弱。GARCH模型中只考慮了ut=ut|Ωt-1波動的大小而沒有考慮波動的方向，實際情況中壞消息的沖擊會大于好消息的影響。

盡管GARCH模型能夠很好的解釋金融資產收益率序列的波動聚集性特征，但是它不能解釋金融時間序列進場存在“杠桿效應”，即資產價格的下跌（壞消息）比同樣程度的價格上漲（好消息）產生的波動更大。因此，本文建立ARFIMA-TGARCH與ARFIMA-EGARCH來解釋這種不對稱性。

1.3.2 TGARCH（1，1）模型公式

可以看出，好消息的沖擊影響為α1u2t-1，壞消息的沖擊影響為（α1+γ）u2t-1。若γ=0，則表示不存在非對稱效應；若γ>0，則表示存在非對稱效應。

1.3.3 EGARCH（1，1）模型公式

由于該公式是對In（σ2τ）建模，則不需要認為假定模型參數非負數約束限制。同時，若γ=0，則表示不存在非對稱效應；若γ<0，則表示存在非對稱效應。

2、實證研究

2.1 數據選取

本次研究使用上海黃金交易所AU9995 2004/09/01到2017/04/25的價格日線，共3038個樣本數據。在此基礎上，將數據分為兩部分：2004/09/01到2017/02/28為第一部分，記為{Xt}，用于構造模型，確定參數；2017/03/01到2017/04/25為第二部分，用于對基于第一部分數據所構造的模型進行預測檢驗。這樣就給數據劃分為3000+38兩部分。

2.2 長記憶性檢驗

首先對本次黃金價格序列{Xt}進行ADF檢驗，結果顯示為非平穩，則對其對數一階差分序列，再進行ADF檢驗，結果如下圖：

可以看出對數差分后的序列為平穩的。對此序列進行R/S分析法進行分析，得到結果如下圖：

其中曲線為logn-logRS，隨著n增大向右上方延伸；直線為logRS=c+H*logn，（斜率即Hurst指數）。從圖中來看，曲線約在logn≈5.0的時候出現了拐點，說明周期大約為exp（5.0）=148日。

而從logn-V圖來看，該圖呈上升趨勢，說明有明顯的長記憶性，當logn≈4.9的時候，圖中曲線逐漸平穩，但波動增大，表明長記憶性逐漸消失。

2.3 建立ARFIMA模型

將已得到的Hurst指數作d=H-0.5計算后將對數差分序列進行d階差分，才可以建立ARFIMA模型進行預測。本文基于楊楠[10]設計的分數差分迭代算法，對本次序列進行分數差分。對分數差分后的數據建立ARMA模型，對序列的相關圖初步判斷模型階數后，再進一步利用AIC準則來確定最合適的模型。AIC值越小，說明模型越契合。所以我們選擇ARMA（3，3）來作為本次實驗模型。

2.4 ARCH-LM檢驗

在我們使用ARCH模型之前，需要判斷殘差序列是否具有ARCH效應。在1982年，Engel已經提出了檢驗殘差序列是否存在ARCH效應的ARCH-LM檢驗。檢驗的原假設為：殘差序列直到q階都不存在ARCH效應。通過對回歸方程的殘差圖進行觀察發現，其表現出明顯的波動聚集性。如圖4，在2005年至2006年時間段，殘差的波動很大，然而在2006年至2007年時間段卻表現出較小的波動 。此模型的殘差存在顯著的條件異方差性，可能存在ARCH效應。

對均值方程的殘差進行條件異方差的ARCH-LM檢驗，滯后階數p=10，其檢驗結果如圖5所示。結果顯示，F統計量=21.15740，其概率值p非常小，從而表明檢驗輔助回歸方程中的所有滯后殘差平方項是聯合顯著的。Obs*R-squared=198.2568，相應的概率值p非常小，因此拒絕原假設，說明殘差序列存在ARCH效應。

2.5 ARFIMA-GARCH族模型預測

由于ARCH模型結束較高，因此本次實驗里面我們考慮結合GARCH（1，1）、TGARCH（1，1）、EGARCH（1，1）模型來進行分析。

均值方程：（1+0.7932L1+0.9834L2-0.7814L3）Xt=-8.98E-05+（1-0.1899L1-0.9771L2+0.2074L3）Et

分別對均值方程建立GARCH模型，分別得到ARFIMA-GARCH模型、ARFIMA-TGARCH模型、ARFIMA-EGARCH模型。從圖6三種GARCH模型的比較來看，三種模型的預測值幾乎重合，具有相同的波動趨勢。從圖7來看，基于三種方法相對誤差絕對值的比較，發現ARFIMA-TGARCH模型的相對誤差絕對值最接近0，說明ARFIMA-TGARCH模型的擬合效果最佳。

通過對表2結果的觀察，利用ARFIMA-TGARCH模型對2017/03/01到2017/04/25的黃金價格預測所得到的結果與實際價格的誤差非常小，這對決策者及投資者有很好的借鑒作用。

3、結語

本次研究中，我們采用了基于分形分析的R/S方法，證實了上海黃金交易所AU9995價格收益率序列存在明顯的長記憶性，隨后結合ARFIMA、ARFIMA-GARCH模型族定量的對黃金價格收益率序列進行分析，所得到的預測模型ARFIMA-TGARCH模型能夠很好的刻畫黃金價格內在波動規律，并能對其進行良好的預測（最高誤差1.501%）。實驗表明，從長記憶性的角度來解釋黃金價格的內在特征是可行的，同時對于投資者和生產者來說，利用此模型來預測黃金市場行情是非常切實有效的，對其決策意見會有很大的幫助。

參考文獻

[1] Hurst H E. Long — term storage capacity of reservoirs[J]. Transactions of the American Society of Civil Engineers，1951，116：700 -779.

[2] MandelbrotBB.et al. Fractional Brownian Motions， Fractional Noises and Applications[J]. SIAM Review，1968，10（4）：422-437.

[3] Edgar E. Peters. Fractal Market Analysis： Applying Chaos Theory to Investment and Economics[R]. Inc New York，1994.

[4] Hosking J R M. Fractional differencing[J]. Biometrika，1981，68：165-176.

[5] Engle R F. Autoregressive Conditional Heteroskedasticity with Estimates of the Variance of the United Kingdom Inflation[J]. Econometrics，1982，50：987-1008.

[6] Bollerslev T. Generalized Autoregressive Conditional Heteroskedasticity[J]. Journal of Econometrics 1986， 31：307-327.

[7] 羅禎.基于ARIMA-GARCH模型的黃金價格走勢研究[J].財政金融，2013，6：31-32.

[8] 樓曉東，張良.基于分形理論的國際金價波動長記憶性識別及預測研究[J].金融市場，2013，6：80-84.

[9] 潘貴豪，胡乃聯等.基于ARMA-GARCH模型的黃金價格實證分析[J].黃金，2010，1：5-8.

[10] 楊楠，柳預才.基于分形分析的國際金價波動長記憶性識別與預測研究[J].數理統計與管理，2013，5：931-940.

作者單位：上海理工大學管理學院