優化二分法計算天然河道水面曲線

黃膺翰 李占松

摘要：天然河道水面曲線的求解計算量大，計算過程冗長。為減小計算量，縮短計算時間，將割線法和線性插值法與二分法相結合，推導出能使計算快速收斂的優化二分法。通過工程實例計算將該方法與傳統二分法、改進二分法進行了對比。結果表明，優化二分法在計算次數和計算時間上均有明顯優勢，大大減少了程序的計算次數，縮短了計算時間。

關鍵詞：天然河道；水面曲線；優化二分法；數值計算；非線性方程

中圖分類號：TV133.1

文獻標志碼：A

doi：10.3969/j.issn.1000-1379.2018.08.026

天然河道水面曲線計算是根據河道地形、縱斷面及河道糙率，推求河段各斷面在一定流量下的水位，并繪制相應流量的水面曲線。當河流較長，斷面數量成百上千時，計算量非常大。為了減小計算量，本文將割線法和線性插值法與傳統二分法相結合，提出了優化二分法，并將其與現行的傳統二分法、文獻中的改進二分法進行了對比分析。

1 研究概要

傳統天然水面曲線計算理論主要基于恒定流能量方程與謝才公式。在求解上主要為圖解法、試算法、二分法及迭代法和牛頓一拉普森（Newton-Raphson）切線法等。考慮到傳統算法存在的問題，國內外學者進行過眾多研究，如：針對試算法存在的誤差積累問題，金菊良等3提出了加速遺傳算法（Accelerating GeneticAlgorithm，簡稱AGA），楊錄峰等將粒子群算法應用于天然河道水面曲線的計算中：針對計算資料不齊全及斷面之間距離過長的河段，張校正提出了“推算法”與“比降法”配合使用的計算方法：針對動能變化較大的山區河流，漆昌銀提出了考慮動能變化的天然水面曲線計算方法：針對如何選取計算參數和河道分段，李滿剛提出了若干建議：針對流量模數的計算，楊遠東等提出了合理的選用方法。

在優化天然河道水面曲線求解方法，減少程序計算次數和縮短運行時間的問題上，研究成果較少，僅王國棟等提出了基于線性插值的求解非線性方程二分法改進，其基本思想是在每進行一次平分隔根區間后，緊接著進行一次線性插值。如圖1所示，設[d，c]為初始計算區間，dc如中點b'對應于函數的點e及函數值與點e異號的端點cz，直線ae交橫坐標軸于點a'。后視點a'對應的函數值分正號、負號兩種情況處理，將計算區間由[d，c]收斂為[d，a'][見圖1（a）]或[a'，b'][見圖1（b）]。該方法雖然在一定程度上加快了計算區間的收斂速度，減少了計算次數，卻增長了每次計算的時間。從本文實例計算的結果來看，該算法計算次數約為傳統二分法計算次數的23%，計算時間卻為傳統二分法的97%，即該算法并未明顯縮短程序的計算時間。因此，為了進一步改進求解方法，本文提出了優化二分法。

2 優化二分法

2.1 方法介紹

優化二分法是將線性插值求解和割線法與二分法相結合形成的一種快速收斂的非線性方程數值求解方法。在此僅以增函數、插值后函數值（圖2中點b'縱坐標值）為正的情況進行介紹，減函數、插值后函數值為負的情況與之類似。

2.1.1 基本原理

如圖2所示，設a、b兩點坐標分別為（X1，Y1）、（x2，Y2），a'、b'兩點坐標分別為（x1'，y1'）、（X2'，y2'），初始區間為（X1，x2）。做以下輔助線：①連接a、b兩點，則直線a6與橫坐標軸交于點e：②過點e做橫坐標軸垂線，交函數于點b'；③連接并延長bb'，使其與橫坐標軸交于點廠；④根據a'、b'的橫坐標x1'、x2'大小及位置，收斂計算區間，則初始區間可由（x1，x2）收斂為（x1'，X2'）[見圖2（a）]或（X1，x2'）[見圖2（b）]或（x1，x1'）[見圖2（c）]。再經過重復計算即可解得滿足精度要求的數值解。

2.1.2 計算公式推導

直線ab的斜率k為

直線bb'的斜率k'為

點b'橫坐標x2'為

點a'橫坐標x1'為

由式（1）～式（4）可得點e坐標為（x2—y2/k，0），點a'坐標為（x2—y2/k'，0）。

2.2 計算步驟

計算步驟如下：①選擇初始區間（X1，y1）；②分別將x1、x2代人函數計算相應函數值Y1、Y2；③將x2、Y2、x1、Y1代人式（1）算得k；④將x2、Y2、k代人式（3）算得x'2，并將X'2代人函數算得相應函數值Y'2；⑤查看Y'2是否滿足精度要求，若滿足則結束計算，否則取X'2為計算區間右端，繼續下列步驟；⑥查看Y'2是否與y2同號，若同號，則將x'2、Y'2、X2、Y2代人式（2）算得k'，否則將x'2、y'2、x1、Y1代人式（2）算得k'，此時式（2）應為k'=y'2-Y1/x'2-x1⑦將x2、y2、k代人式（4）算得x1'；⑧比較x1與x'1大小，若x'1x1，則將x'1代人函數，計算出相應函數值y'1；⑨查看Y'2是否滿足精度要求，若滿足則結束計算，否則取x'2為計算區間右端，繼續下列步驟；⑩若y'1與Y'2異號，則計算區間收斂為（x'1，X'2）[見圖2（a）]，若y'1與Y'2同號，則計算區間收斂為（x1，x'1][見圖2（c）]。返回步驟②繼續計算。

3 實例計算

3.1 計算次數對比

某天然河段長634.65m，共設8個斷面，各斷面資料從5組到8組不等，插值方法為線性插值。河段計算流量為3756m3/s，初始斷面水深13m，粗糙系數取0.034，不考慮局部水頭損失，水面曲線見圖3。

通過VB編程，將優化二分法應用于該天然河段計算其水面曲線，并用傳統二分法及文獻中的算法作相同計算進行對比，計算結果見表1。

從計算次數上來看，在計算河道斷面8時，優化二分法計算次數約為傳統二分法的14%，約為文獻算法的51%。與另外兩種方法相比，優化二分法收斂速度明顯加快，計算次數明顯減少。

3.2 計算時間對比

由于僅有8個斷面，程序計算時間過短，VB程序無法進行時間測量，因此利用循環程序分別將優化二分法、傳統二分法以及文獻的計算方法進行多次運算，運算時間見表2。

從計算時間上來看，優化二分法計算時間約為傳統二分法的75%，約為文獻算法的77%，優化二分法使程序的計算時間得到了一定程度的縮短。

3.3 結果分析

從表1、表2的數據來看，優化二分法加快了試算的收斂速度，顯著減少了計算次數，明顯縮短了程序的計算時間。該方法計算簡便，易應用于電腦程序計算，為天然河道水面曲線的計算、調試提供了便利。

4 結語

天然河道水面曲線計算是水力學計算的重要內容，也是工程設計中的基本課題。基于區間不等分的思想，通過將插值法和割線法應用于二分法，提出了優化二分法，并將該方法應用于天然河道水面曲線計算，同時通過工程實例將該方法與傳統二分法、文獻中的改進二分法進行了比較。結果表明，該方法加快了計算區間的收斂速度，減少了計算次數，縮短了計算時間，為天然河道水面曲線的計算、調試提供了便利。作為一種快速收斂的非線性方程數值解法，優化二分法還可應用于模型參數率定、網格顯式求解等。